Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. В рассматриваемой механической системе на груз при свободном движении действуют только две силы: сила тяжести mg и сила реакции стержня N.
Тем не менее динамическое решение этой задачи затруднительно, ибо сила реакции стержня заранее не задана и изменяется в процессе движения. Однако на поставленный в условии задачи вопрос легко ответить, используя закон сохранения механической энергии.
Действительно, данная механическая система консервативна, так как сила тяжести потенциальна, а сила реакции стержня при движении груза работы не совершает, ибо в любой момент направлена перпендикулярно
скорости. Поэтому полная механическая энергия системы, включающая кине тическую энергию груза и его потенциальную энергию в поле тяжести, сохра няется. Разумеется, это справедливо, когда можно пренебречь трением.
Рис. 119. Силы, действующие на груз, подвешенный на стержне
198
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Очевидно, что кинетическая энергия и, следовательно, скорость груза будут максимальны в той точке траектории, где потенциальная энергия минимальна, т. е. при прохождении положения равновесия. Будем отсчитывать потенциальную энергию груза от этой самой низкой точки. Тогда потенциальная энергия груза при отклонении стержня на угол <р от вертикали равна mgh, где h, как видно из рис. 119, определяется выражением
h = 1(1 — cos <f). (9)
Приравнивая значения потенциальной энергии неподвижного отклоненного груза и его кинетической энергии при прохождении положения равновесия, имеем
mgh = mgl (1 — cos <f) — (10)
откуда
v = V2^/(l — cos <f) = 2\/gl sin •?.
Из выражения (10) видно, что скорость груза в нижней точке будет по модулю такой же, как и при свободном падении с высоты h. Это значит, что роль силы реакции стержня свелась только к изменению направления скорости. Такие силы называют силами реакции идеальных связей.
По своей физической природе сила реакции стержня — это, конечно, упругая сила. Используемая здесь физическая модель, т. е. идеализация свойств стержня, заключается в пренебрежении его возможной деформацией. Другими словами, жесткость стержня считается настолько большой, что при действующих здесь силах деформация практически отсутствует: можно не учитывать изменения длины стержня при подсчете потенциальной энергии груза в поле тяжести и пренебречь потенциальной энергией упругой деформации самого стержня.
Отметим, что использование закона сохранения энергии дает возможность легко получить ответы на некоторые интересующие нас вопросы, но не дает исчерпывающей информации о всем движении. Например, мы
не можем с помощью закона сохранения энергии найти зависимость угла отклонения стержня от времени.
3. Цепочка в трубке. В причудливо изогну той жесткой трубке с гладкими внутренними стенками находится цепочка длины /, которая может скользить сквозь трубку, не изменяя своей длины (рис. 120). В начальный момент цепочку удерживают, причем ее верхний конец находится на высоте h над нижним. Каким будет ускорение цепочки сразу после того, как се отпустить?
Решение. Динамическое решение такой задачи требует задания определенной конфигурации трубки. При пренебрежении трением силы реакции трубки можно считать направленными перпендикулярно поверхности в любой ее точке. Другими словами, такая связь является идеальной.
Рис. 120. Цепочка внутри изогнутой гладкой трубки
§ 33. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
199
а рассматриваемая механическая система — консервативной. Поэтому можно воспользоваться законом сохранения механической энергии.
Допустим, что отпущенная цепочка сместилась вдоль трубки на малое расстояние А/. Поскольку скорости всех звеньев цепочки одинаковы, то цепочка приобретет при этом кинетическую энергию
ту2 _ ply2 (11)
где р — масса цепочки в расчете на единицу ее длины (линейная плотность). Эта энергия появилась за счет того, что на такую же величину уменьшилась потенциальная энергия цепочки в поле тяжести. Легко сообразить, что потенциальная энергия цепочки уменьшится на
Еп = Am gh = р Al gh, (12)
так как это уменьшение связано с тем, что теперь у верхнего конца цепочки на высоте h нет кусочка длины А1, опустившегося вниз. Приравнивая правые части выражений (11) и (12), получаем
^-SU. Ш)
Если участок А1 выбран настолько малым, что на его протяжении ускорение а можно считать постоянным, то справедлива формула кинематики равноускоренного движения и2 = 2а А/. Подставляя это значение v2 в левую часть
(13), находим ускорение а цепочки в начальный момент:
М (14)
I '
Заметим, что полученный результат справедлив не только в начальный момент, когда цепочка начинает скользить по трубке. Та же формула (14) дает значение ускорения цепочки для произвольного момента времени, выражая ускорение через разность высот ее верхнего и нижнего концов. Действительно, если при смещении цепочки на А1 ее скорость изменяется от \>0 до v, то закон сохранения энергии записывается в виде
