Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
(?^2— (?Jl = Лют + Лепог С1)
Работа потенциальных сил АП0Т равна разности значений потенциальной энергии системы в начальном и конечном состояниях:
Апт=(Еп)1 -(?„) 2. (2)
Подставляя выражение (2) в теорему (1) о кинетической энергии системы частиц и перегруппировывая слагаемые, получаем
(^ + En)2-(E, + E„)i = \e„m- (3)
Механическая энергия. Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется механической энергией (или полной механической энергией)'.
Е = ЕК+Еа. (4)
Теперь равенство (3) перепишется в виде
^2 -^1 = Aienor (^)
Равенство (5) означает, что изменение механической энергии системы равно работе всех непотенциальных сил (как внешних,
196
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
так и внутренних). Это и есть закон изменения механической энергии.
Если непотенциальных сил нет или если их работа равна нулю, механическая энергия системы сохраняется. Обладающие таким свойством физические системы называются консервативными. В таких системах возможны лишь взаимные превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас механической энергии системы измениться не может.
Потенциальная энергия системы в общем случае включает в себя потенциальную энергию взаимодействия частиц системы и потенциальную энергию этих частиц во внешнем поле (если оно есть). В некоторых случаях работу внешних потенциальных сил бывает удобно рассматривать явно, а не выражать через изменение потенциальной энергии. В этом случае нужно считать, что потенциальная энергия системы состоит только из энергии взаимодействия составляющих ее частиц. Закон изменения энергии при этом формулируется так: изменение механической энергии системы равно работе всех внешних сил и непотенциальных внутренних сил.
Задачи
1. Максимальная высота подъема. Телу на поверхности Земли сообщают скорость t;0, направленную вертикально вверх. На какую наибольшую высоту над поверхностью Земли оно поднимется?
Решение. Эта задача не представляет никаких трудностей, если начальная скорость v0 мала настолько, что максимальная высота подъема много меньше радиуса Земли. В таком случае действующая на тело сила тяжести постоянна на всем пути, движение происходит с постоянным ускорением g и максимальная высота подъема определяется известной формулой кинематики h = vy(2g). Эту формулу можно сразу получить и с помощью закона сохранения энергии. Так как единственная действующая на тело сила (сила тяжести) потенциальна, то полная механическая энергия во все моменты движения одинакова. В начальный момент это только кинетическая энергия т\%!2\ в точке наибольшего подъема, где скорость обращается в нуль, — это только потенциальная энергия mgh. Приравнивая эти значения, снова получаем h = vfi/(2g).
Если же начальная скорость t>0 велика настолько, что не учитывать зависимости силы тяжести от высоты уже нельзя, то решение задачи непосредственно с помощью законов Ньютона наталкивается на серьезные математические трудности. Однако использование закона сохранения энергии позволяет сразу найти интересующую нас максимальную высоту подъема. Все приведенные выше рассуждения справедливы и теперь, только для потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли нужно вместо приближенной формулы En = mgh взять точную формулу (6) предыдущего параграфа:
mgR2
§ 33. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
197
учитывая, разумеется, что теперь потенциальную энергию тела на поверхности Земли следует считать равной —mgR.
Полагая г = R + h и приравнивая значения механической энергии тела на поверхности Земли и в точке максимального подъема, получаем
mvj
2
mgR = -
mgR2 R + h'
Решая это уравнение относительно Л, находим
A-n v2°
2gR - v2
(6)
(7)
Если г>1« 2gR, то вторым слагаемым в знаменателе правой части (7) можно пренебречь и мы сразу приходим к прежнему результату: h = v%/(2g). Можно получить поправку к этому ответу, обусловленную зависимостью силы тяжести от высоты. Используя приближенную формулу 1/(1 — х) = I + х (х <к 1), из (7) при \>У (2gR) <S. 1 получаем
Л =
2g l-v2H2gR)
Л 2 g
vj
2 gR
(8)
Из формулы (7) видно, что высота подъема неограниченно возрастает, если начальная скорость и0 приближается к значению V2gR . Такая скорость называется скоростью освобождения или второй космической скоростью Vu. Подставляя значения g = 9,81 м/с2 и R = 6370 км, находим Vu = 11,2 км/с. Если такую скорость сообщить находящемуся вблизи земной поверхности телу, оно навсегда покинет Землю.
2. Груз на стержне. Груз, подвешенный на легком стержне длины /, который может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси, отвели из равновесного положения так, что стержень образует с вертикалью угол 9 (рис. 119). Какую максимальную скорость v приобретет груз, если его отпустить?
