Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Сила в каждой точке направлена перпендикулярно проходящей через эту точку эквипотенциальной поверхности. Это легко увидеть с помощью формулы (15). В самом деле, выберем перемещение А/ вдоль поверхности постоянной энергии. Тогда АЕП = 0 и, следовательно, равна нулю проекция силы на поверхность Еп = const. Так, например, в гравитационном поле, создаваемом телом массы М со сферически-симметричным распределением масс, потенциальная энергия тела массы т дается выражением (5) . Поверхности постоянной энергии такого поля представляют собой сферы, центры которых совпадают с силовым центром.
Действующая на массу т сила перпендикулярна эквипотенциальной поверхности и направлена к силовому центру. Проекцию этой силы на радиус, проведенный из силового центра, можно найти из выражения (5) для потенциальной энергии с помощью формулы (15):
1 _ j) _ GmM
г + Дг г) г(г+Аг)’
что при Аг -* 0 дает
Полученный результат подтверждает приведенное выше без доказательства выражение для потенциальной энергии (5).
Наглядное представление о поверхностях равных значений потенциальной энергии можно составить на примере рельефа пересеченной
194
Ш. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
местности. Точкам земной поверхности, находящимся на одном горизонтальном уровне, соответствуют одинаковые значения потенциальной энергии поля тяготения. Эти точки образуют непрерывные линии. На топографических картах такие линии называются горизонталями. По горизонталям легко восстановить все черты рельефа: холмы, впадины, седловины. На крутых склонах горизонтали идут гуще, ближе друг к другу, чем на пологих. В этом примере равным значениям потенциальной энергии соответствуют линии, а не поверхности, так как здесь речь идет о силовом поле, где потенциальная энергия зависит от двух координат (а не от трех).
• Объясните различие между потенциальными и непотенциальными силами.
• Что такое потенциальная энергия? Какие силовые поля называются потенциальными?
• Получите выражение (2) для работы силы тяжести в однородном поле Земли.
• С чем связана неоднозначность потенциальной энергии и почему эта неоднозначность никак не сказывается на физических результатах?
• Докажите, что в потенциальном силовом поле, где работа при перемещении тела между любыми двумя точками не зависит от формы траектории, работа при перемещении тела по любому замкнутому пути равна нулю.
• Получите выражение (6) для потенциальной энергии тела массы т в поле тяготения Земли. Когда справедлива эта формула?
• Чемодан нельзя считать телом со сферически-симметричным распределением массы. Тем не менее при подсчете его потенциальной энергии в поле тяготения Земли можно пользоваться формулой (6). Объясните, почему.
• Как зависит потенциальная энергия в поле тяготения Земли от высоты над поверхностью? Рассмотрите случаи, когда высота мала и когда она сравнима с радиусом Земли.
• Укажите на графике зависимости потенциальной энергии от расстояния г (см. рис. 118) область, где справедливо линейное приближение (7).
а Вывод формулы для потенциальной энергии. Чтобы получить формулу (5) для потенциальной энергии в центральном поле тяготения, нужно вычислить работу сил поля при мысленном перемещении тела массы т из данной точки в бесконечно удаленную точку. Работа в соответствии с формулой (4) § 31, выражается интегралом от силы F(r) вдоль траектории, по которой перемещается тело. Так как эта работа не зависит от формы траектории, вычислять интеграл можно для перемещения по радиусу, проходящему через интересующую нас точку;
ВД = \FM) dr = -\G^-dr = -G^-. (16)
Г Г
§ 33. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
195
Формулу (15), выражающую силу через потенциальную энергию, строго говоря, следует понимать в смысле предельного перехода, рассматривая правую часть (15) как производную от потенциальной энергии по пространственным координатам, от которых зависит потенциальная энергия. Например, проекция F силы F на ось х равна взятой с обратным знаком производной от Еп(х, у, г) по х при фиксированных значениях двух других переменных у и z. Аналогично находятся проекции F и F
Градиент функции. Получающийся таким образом из скалярной функции Еп(х, у, z) вектор F называется градиентом этой функции (взятым с обратным знаком). Вектор градиента «смотрит» в направлении наиболее быстрого возрастания функции при изменении координат. Поэтому сила направлена в сторону наиболее быстрого убывания потенциальной энергии. ^
§ 33. Закон сохранения механической энергии
Перейдем теперь к обсуждению закона сохранения механической энергии. Вернемся к теореме о кинетической энергии, согласно которой изменение кинетической энергии системы частиц при переходе из состояния 1 в состояние 2 равно сумме работ всех действующих сил — внешних и внутренних, как потенциальных, так и непотенциальных. Поделив все действующие силы на потенциальные и непотенциальные, можем написать
