Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Значение потенциальной энергии на поверхности Земли равно работе, даваемой формулой (9):
En(R) = ^mgR, если Еп(0) = 0. ПО)
Для того чтобы найти значение потенциальной энергии на бесконечно большом расстоянии от Земли, следует учесть, что разность потенциальных энергий на бесконечности и на поверхности Земли равна, в соответствии с (6), mgR и не зависит от того, где выбран нуль потенциальной энергии. Именно такую величину нужно прибавить к значению (10) потенциальной энергии на поверхности, чтобы получить искомое значение на бесконечности:
Еп(г^>’ ") = ^ mSR + mSR — f mgR. (11)
2. График потенциальной энергии. Постройте график потенциальной энергии тела массы т в поле тяготения Земли, считая ее однородным шаром.
Решение. Примем для определенности значение потенциальной энергии в центре Земли равным нулю. Для любой внутренней точки.
Рис. 117. К расчету потенциальной энергии
Рис. 118. График потенциальной энергии
находящейся на расстоянии г (г < R) от центра Земли, потенциальная энергия рассчитывается так же, как и в предыдущей задаче: как следует из рис. 117, она равна площади треугольника с основанием г и высотой F(r) = mgr/R. Таким образом,
En(r)=\mgj (г < R). (12)
Для построения графика потенциальной энергии при r>R, где сила убывает обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 117), следует воспользоваться формулой (6). Но в соответствии со сделанным выбором точки отсчета потенциальной энергии к значению, даваемому фор-
192
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
мулой (6), следует прибавить постоянную величину mgR. Поэтому
Еп(г) -^mgR — mg mgR || - (г > R). (13)
Полный график Еи(г) показан на рис. 118. На участке от центра Земли до ее поверхности (0<г<Я) он представляет собой отрезок параболы
(12), минимум которой расположен при г — 0. Такую зависимость иногда называют «квадратичной потенциальной ямой». На участке от поверхности Земли до бесконечности (Я<г<°о) график представляет собой отрезок гиперболы (13). Эти отрезки параболы и гиперболы плавно, без излома, переходят друг в друга. Ход графика соответствует тому, что в случае сил притяжения потенциальная энергия возрастает при увеличении расстояния.
Энергия упругой деформации. К потенциальным силам относятся также и силы, возникающие при упругой деформации тел. В соответствии с законом Гука эти силы пропорциональны деформации. Поэтому потенциальная энергия упругой деформации квадратично зависит от деформации. Это становится сразу ясным, если учесть, что зависимость силы от смещения из положения равновесия здесь такая же, как и у рассмотренной выше силы тяжести, действующей на тело внутри однородного массивного шара. Например, при растяжении или сжатии на АI упругой пружины жесткости к, когда действующая сила F = к АI, потенциальная энергия дается выражением
Еп = {к{М)\ (14)
Здесь принято, что в положении равновесия потенциальная энергия равна нулю.
Потенциальная энергия в каждой точке силового поля имеет определенное значение. Поэтому она может служить характеристикой этого поля. Таким образом, силовое поле можно описать, задавая либо силу в каждой точке, либо значение потенциальной энергии. Эти способы описания потенциального силового поля эквивалентны.
Связь силы и потенциальной энергии. Установим связь этих двух способов описания, т. е. общее соотношение между силой и изменением потенциальной энергии. Рассмотрим перемещение Д1 тела между двумя близкими точками поля. Работа сил поля при этом перемещении равна F A1. С другой стороны, эта работа равна разности значений потенциальной энергии в начальной и конечной точках перемещения AI, т. е. взятому с обратным знаком изменению АЕп = Е2 — Е{ потенциальной энергии. Поэтому
§ 32. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
193
Левую часть этого соотношения можно записать в виде произведения проекции Ft силы F на направление перемещения AI и модуля этого перемещения A/: F AI = Ft А/. Отсюда
(15)
1 М •
Проекция потенциальной силы на произвольное направление может быть найдена как взятое с обратным знаком отношение изменения потенциальной энергии при малом перемещении вдоль этого направления к модулю перемещения.
Эквипотенциальные поверхности. Обоим способам описания потенциального поля можно сопоставить наглядные геометрические образы — картины силовых линий или эквипотенциальных поверхностей. Потенциальная энергия частицы в силовом поле является функцией ее координат. Приравнивая Еп(х, у, z) постоянной величине, получаем уравнение поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия имеет одно и то же значение. Эти поверхности равных значений потенциальной энергии, называемые эквипотенциальными,, дают наглядную картину силового поля.
