Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отмеченная неоднозначность в определении потенциальной энергии никак не сказывается на результатах при практическом использовании понятия потенциальной энергии, так как физический смысл
§ 32. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
189
имеет только изменение потенциальной энергии, т. е. разность ее значений в двух точках поля, через которую выражается работа сил поля при перемещении тела из одной точки в другую.
Центральное поле. Покажем потенциальный характер центрального поля, в котором сила зависит только от расстояния до силового центра и направлена по радиусу. Примерами центральных полей могут служить поле тяготения планеты или любого тела со сфери-чески-симметричным распределением масс, электростатическое поле точечного заряда и т. д.
Пусть тело, на которое действует центральная сила F, направленная по радиусу от силового центра О (рис. 116), перемещается из точки 1 в точку 2 по некоторой кривой. Разобьем весь путь, на маленькие участки Д1 так, чтобы силу F в пределах каждого участка можно было считать постоянной. Работа силы F на таком участке
ДА = F ¦ Д1 = F ДI cos а.
Но как видно из рис. 116, Д/cos а есть проекция элементарного перемещения Д1 на направление радиуса-век-тора г, проведенного из силового центра: Д/ cos а = Дг. Таким образом,
ДА = F Дг — работа на отдельном участке равна произведению силы на изменение расстояния до силового центра. Суммируя работы на всех участках, убеждаемся, что работа сил поля при перемещении тела из точки 1 в точку 2 равна работе по перемещению вдоль радиуса из точки 1 в точку 3 (рис. 116). Итак, эта работа определяется только начальным и конечным расстояниями тела от силового центра и не зависит от формы пути, что и доказывает потенциальный характер любого центрального поля.
Потенциальная энергия в поле тяготения. Чтобы получить явное выражение для потенциальной энергии тела в некоторой точке поля, нужно рассчитать работу при перемещении тела из этой точки в другую, потенциальная энергия в которой принимается равной нулю. Приведем выражения для потенциальной энергии в некоторых важных случаях центральных полей.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия точечных масс т и М или тел со сферически-симметричным распределением масс, центры которых находятся на расстоянии г друг от друга, дается выражением
^ тМ Г.<П
Рис. 116. Работа сил центрального поля
190
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Разумеется, об этой энергии можно говорить и как о потенциальной энергии тела массы т в поле тяготения, создаваемом телом массы М. В выражении (5) потенциальная энергия принята равной нулю при бесконечно большом расстоянии между взаимодействующими телами: Вп = 0 при
Для потенциальной энергии тела массы т в поле тяготения Земли удобно видоизменить формулу (5) с учетом соотношения (7) из § 23 и выразить потенциальную энергию через ускорение свободного падения g у поверхности Земли и радиус Земли R:
Если высота тела h над поверхностью Земли мала по сравнению с радиусом Земли (h«R), то, подставляя в (6) г в виде г = R + h и используя приближенную формулу 1/(1 + дс) =1 — дс (при л:<к 1), можно преобразовать формулу (6) следующим образом:
Первое слагаемое в правой части (7) можно опустить, так как оно постоянно, т. е. не зависит от положения тела. Тогда вместо (7) имеем
что совпадает с формулой (3), полученной в приближении «плоской» Земли для однородного поля тяжести. Подчеркнем, однако, что в отличие от (6) или (7) в формуле (8) потенциальная энергия отсчитывается от поверхности Земли.
1. Потенциальная энергия в поле тяготения Земли. Чему равна потенциальная энергия тела на поверхности Земли и на бесконечно большом расстоянии от Земли, если принять ее равной нулю в центре Земли?
Решение. Чтобы найти потенциальную энергию тела на поверхности Земли при условии, что она равна нулю в центре Земли, нужно рассчитать работу, совершаемую силой тяготения при мысленном перемещении тела с поверхности Земли в ее центр. Как было выяснено ранее (см. формулу (10) § 23), действующая на находящееся в глубине Земли тело сила тяготения пропорциональна его расстоянию г от центра Земли, если считать Землю однородным шаром с одинаковой всюду плотностью:
Для вычисления работы весь путь от поверхности Земли до ее центра разбиваем на малые участки, на протяжении которых силу можно считать постоянной. Работа на отдельном малом участке изображается на графике зависимости силы от расстояния (рис. 117) площадью узкой заштрихованной полоски. Эта работа положительна, так как направления силы тяжести и перемещения совпадают. Полная работа, очевидно, изобража-
(7)
ЕП = mgh,
(8)
Задач и
§ 32. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
191
ется площадью треугольника с основанием R и высотой mg:
A = ^mgR. (9)
