Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Мощность. Отношение работы АА к промежутку времени At, в течение которого она совершена, называется средней мощностью Рср за время At:
р =М
ср дг
Мгновенной мощностью или просто мощностью Р называется предел этого отношения при Дг —* 0:
г, АА Р Дг Лг т-,
Р = lim — = lim ——- = lim F-— = F v
„ „ At . At
At-*0 At-*0 Д<-»0
Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость. Мощность — это основная характеристика любой машины или устройства, используемого для совершения работы.
Единицы работы и мощности. Напомним, что в СИ работа измеряется в джоулях: джоуль (Дж) — это работа, совершаемая силой в 1 ньютон при перемещении тела на 1 метр в направлении действия силы: 1 Дж = 1 НТ м.
Мощность измеряется в джоулях в секунду. Такая единица мощности называется ваттом (Вт): 1 Вт = 1 Дж/с. В технике используются также единицы в тысячу и в миллион раз больше ватта, имеющие названия соответственно киловатт (кВт) и мегаватт (МВт).
В системе единиц СГС работа измеряется в эргах: 1 эрг = = 1 дин -1 см. Мощность измеряется в эргах в секунду (эрг/с). Специального названия эта единица мощности не имеет.
Кинетическая энергия. Временная характеристика действия силы, т. е. импульс силы, определяет, как мы видели, изменение импульса тела, на которое она действует. Пространственная характеристика действия силы, т. е. работа силы, определяет изменение кинетической энергии тела.
Кинетической энергией Ек материальной точки массы т, движущейся со скоростью v, называется скалярная величина, пропорциональная массе и квадрату скорости:
= (5)
Покажем, что изменение этой величины при движении тела равно работе векторной суммы всех действующих на тело сил. На-
§ 31. МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ 183
чнем с простейшего случая, когда на покоившееся тело начинает действовать постоянная сила F. Тело будет двигаться в направлении действующей силы с постоянным ускорением а = F/т. Поэтому для работы АЛ силы F, учитывая, что угол между F и Дг равен нулю, имеем
АЛ = F Аг = та Ar = т t = (6)
Так как кинетическая энергия покоившегося тела равна нулю, то совершенная при разгоне работа равна изменению кинетической энергии тела.
Пусть теперь в начальный момент тело имеет скорость v0, а действующая на него с этого момента постоянная сила F может и не совпадать по направлению со скоростью. В этом случае для работы силы F с помощью второго закона Ньютона имеем
А А С A A v_v0 v + vo . mv2 "tv2
А Л = F • Аг = та • Ar = m—-—•—y~ ~2---------2~‘ ()
Видно, что и в этом случае изменение кинетической энергии тела равно работе всех действующих на него сил. Это утверждение называется теоремой о кинетической энергии. Оно представляет собой следствие второго закона Ньютона.
Теорема о кинетической энергии. Докажем теорему о кинетической энергии для общего случая, когда в процессе перемещения тела сила не остается постоянной. Перемещение Аг всегда можно разбить на столь малые участки, чтобы силу в пределах каждого участка можно было считать постоянной. Тогда для каждого участка будет справедливо соотношение (7). Сложим почленно все выражения (7), записанные для каждого из участков. В левой части получим полную работу на всем перемещении. При сложении правых частей следует учесть, что конечная скорость на каждом участке совпадает с начальной скоростью на следующем. В результате в правой части останутся только два слагаемых, соответствующих конечной скорости v на последнем участке и начальной скорости vQ на первом:
= (8)
Использование теоремы о кинетической энергии облегчает решение многих механических задач.
Задача
Выскальзывающая доска. На конце доски длины L и массы М находится маленький брусок массы т (рис. 113). Доска может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения бруска о
184
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
m
М
77777777777777/777777777777777777777777/
Рис. 113. К определению условий выскальзывания доски
поверхность доски равен ц. Какую горизонтальную скорость нужно толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?
Решение. При сообщении доске горизонтальной скорости t>0 резким толчком или ударом брусок не получает скорости относительно земли, так как действующая на него со стороны доски сила трения не превосходит
значения \irng и за короткое время удара не может сообщить бруску заметного импульса.
После толчка в системе отсчета, связанной с землей, из-за сил взаимного трения брусок движется равноускоренно, а доска — равнозамедленно. Если начальная скорость доски к0 невелика, то может наступить такой момент, когда скорости доски и бруска примут одинаковые значения. В этот момент проскальзывание прекращается, далее доска и брусок движутся равномерно с одинаковой скоростью v как одно тело, и доска, разумеется, уже не выскользнет из-под бруска. Если же начальная скорость доски достаточно велика, то скорости доски и бруска могут не успеть сравняться за то время, пока брусок скользит вдоль всей доски. В этом случае доска выскользнет из-под бруска.
