Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
• Зависит ли набранная ракетой скорость после выработки всего топлива от того, за какое время оно было израсходовано?
• Почему невозможно осуществление межзвездной космической экспедиции с использованием традиционных ракетных двигателей на химическом топливе? ^
§ 31. Механическая работа. Кинетическая энергия
Наряду с временнбй характеристикой действия силы — ее импульсом — в механике столь же важную роль играет и пространственная
180
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
характеристика действия силы, называемая механической работой. Работа ДЛ силы F при перемещении Дг тела, к которому она приложена, определяется как скалярное произведение F и Дг:
АА = F- Дг = F Аг cos а, (1)
где а — угол между направлениями F и Дг. Из определения (1) следует, что работа некоторой силы равна произведению проекции силы на направление перемещения и модуля этого перемещения, или наоборот: произведению модуля силы и проекции перемещения на направление действия силы.
Свойства работы. Если на тело действуют сразу несколько сил, то можно говорить о работе каждой из них в отдельности и о работе равнодействующей этих сил, т. е. их векторной суммы. Из определения работы следует, что работа суммы сил равна сумме работ каждой из них: когда F = ^ F;, имеем
i
АА = F- Дг = ^ F; ¦ Дг = ^ Fj¦ Дг = ? АА-(, i i i
так как проекция суммы векторов 2 F; равна проекции результирующего вектора F. г
Работа силы — это скалярная алгебраическая величина, которая, как следует из (1), может быть положительной (когда сила направлена вдоль перемещения или образует с ним острый угол), отрицательной (когда сила направлена противоположно перемещению или образует с ним тупой угол) и равной нулю (если сила направлена перпендикулярно перемещению или если перемещения тела, на которое она действует, вообще не происходит).
Рассмотрим, например, работу сил, действующих на ящик при его перемещении по горизонтальному полу, когда его тянут за веревку, направленную под углом к горизонту (рис. 111).
Сила F натяжения веревки при перемещении ящика вправо на расстояние Дг совершает положительную работу, равную F cos а А г. Работа силы трения отрицательна и равна — F Аг, так как угол между FTp и Дг равен л, а его косинус равен —1. При равномерном движении ящика, когда F cos а = F , сумма работ сил F и FTp равна нулю. Если же ящик разгоняется, т. е. F cos а > F , сумма работ этих сил положительна. Сила реакции опоры N и сила тяжести mg при горизонтальном перемещении ящика работы не совершают, так как они перпендикулярны перемещению и косинусы соответствующих углов равны нулю.
Приведенное определение (1) работы как скалярного произведения векторов силы и перемещения справедливо при условии, что сила F постоянна на всем перемещении Дг. Подчеркнем, что участок
§ 31. МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
181
траектории между начальной и конечной точками перемещения Дг может быть любым, в том числе и криволинейным. Единственным
iN
la
Дг
F 'mg
*¦ тр
Рис. 111. Работа, совершаемая разными силами, при перемещении ящика
Рис. 112. Работа силы F на перемещении Дг равна сумме работ на разных участках
условием, определяющим выбор Дг, является требование неизменности силы F (как по модулю, так и по направлению) на всем протяжении этого участка траектории.
Действительно, полное перемещение Дг можно представить как векторную сумму более «мелких» перемещений Дг4 (рис. 112):
Дг = ^ Дг*. Подставляя эту сумму в выражение (1) для работы,
к
получаем
А А = F -Дг = ^ F-Дг* = 2 ААк, к к
где ДАк — работа силы F на отдельном «мелком» перемещении Дг*. Таким образом, при постоянной силе работа на всем перемещении Дг распадается на сумму работ этой силы на отдельных участках, причем сумма не зависит от того, каким образом все перемещение Дг разбито на отдельные части.
Работа переменной силы. Если при перемещении тела действующая на него сила изменяется, то для вычисления ее работы траекторию нужно разбить на малые участки, в пределах которых силу можно считать постоянной. Тогда работа ДAt на отдельном участке траектории, характеризуемом вектором перемещения Дг,-, определяется той же формулой (1):
AAt = F(- Дг; = Ft Дгг cos а,-, (2)
где Ft — значение силы на этом r'-м участке. Полная работа рассматриваемой силы на всей траектории определяется как алгебраическая сумма работ на отдельных участках:
ДЛ = 2 АА> = 2 Fi'Аг; = 2 Fi Л'; cos а(3)
i i i
182
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Соотношение (3) означает, что работа силы F на всей траектории выражается интегралом, вычисляемым вдоль траектории:
2
ДЛ = j F(r) dr, (4)
i
где 1 и 2 — начальная и конечная точки траектории.
