Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
1 dt °тн dt
Это уравнение впервые было получено Мещерским и носит его имя. При заданном режиме работы двигателя, когда масса m(t) представляет собой определенную известную функцию времени, уравнение Мещерского позволяет рассчитать скорость \(t) ракеты в любой момент времени.
• Какие физические соображения свидетельствуют о целесообразности определения центра масс с помощью формулы (1)?
• В каком смысле центр масс характеризует движение системы частиц как целого?
• О чем говорит закон движения центра масс системы взаимодействующих тел? Влияют ли внутренние силы на ускорение центра масс?
• Могут ли внутренние силы влиять на траекторию центра масс системы?
• В задаче о разрыве снаряда, рассмотренной в предыдущем параграфе, закон движения центра масс позволяет сразу найти дальность полета второго осколка, если его начальная скорость горизонтальна. Как это сделать? Почему эти соображения неприменимы в случае, когда его начальная скорость имеет вертикальную составляющую?
• В процессе разгона ракеты ее двигатель работает в постоянном режиме, так что относительная скорость истечения газов и расход топлива в единицу времени неизменны. Будет ли при этом ускорение ракеты постоянным?
• Выведите уравнение Мещерского, используя вместо сопутствующей системы отсчета инерциальную систему, в которой ракета уже имеет* скорость v.
178
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
д Формула Циолковского. Допустим, что разгон ракеты происходит в свободном пространстве, где на нее не действуют внешние силы. По мере вырабатывания топлива масса ракеты убывает. Найдем зависимость между массой израсходованного топлива и набранной ракетой скоростью.
После включения двигателя покоившаяся ракета начинает набирать скорость, двигаясь по прямой линии. Спроецировав векторное уравнение (9) на направление движения ракеты, получим
dv dm
m~dt~ voth (ll)
Будем в уравнении (II) рассматривать массу т ракеты как функцию набранной ракетой скорости v. Тогда скорость изменения массы со временем dm/dt можно представить следующим образом:
dm dm dv
dt dv dt'
Подставляя это соотношение в уравнение (II), получаем
dm- 1 т. (12)
dv *'отн
Предположим, что скорость истечения газов v0TH неизменна, что довольно точно выполняется в современных ракетах. В этом случае уравнение (12) позволяет легко найти массу т ракеты как функцию ее скорости. В самом деле, согласно (12) производная dm/dv искомой функции m(v) пропорциональна самой функции. Таким свойством обладает только экспоненциальная функция. Поэтому решение уравнения (12) при постоянной
т = С ехр
и
Vn
(13)
Значение постоянной С определяется из начального условия: при и = 0 масса ракеты равна начальной массе т0. Таким образом, масса ракеты т в тот момент, когда ее скорость равна v, дается формулой
т = т0 ехр - ~
\ on
которая называется формулой Циолковского.
Топливо для космических полетов. Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, который необходим для сообщения ракете определенной конечной скорости v. Согласно (14) отношение начальной массы т0 ракеты к ее конечной массе т равно ехр (v/vaTH) и будет тем меньше, чем больше скорость ис-
§ 31. МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
179
течения газов v0TH. В современных ракетах на химическом топливе скорость газовой струи составляет от 3 до 5 км/с. Допустим, что ракете нужно сообщить первую космическую скорость, т. е. такую скорость, при которой ее полезная нагрузка может стать искусственным спутником Земли. Эта скорость равна приблизительно 8 км/с. При скорости истечения vom = 2 км/с формула Циолковского дает mjm = 54,6, т. е. практически вся начальная масса ракеты приходится на топливо. При иотн = 4 км/с отношение т0/т составляет уже 7,4, но и в этом случае запас топлива т0 — т должен превосходить массу т выводимого космического аппарата в несколько раз.
Технические трудности, связанные с достижением космических скоростей, преодолеваются с помощью многоступенчатых ракет, идея которых принадлежит Циолковскому. Когда массивная первая ступень ракеты — бустер — исчерпает запас топлива, она отделяется, для того чтобы не приходилось разгонять дальше уже ненужные пустые баки из-под горючего и отработавшие двигатели. Вторая ступень добавляет к ранее достигнутой скорости еще некоторую скорость, а затем отделяется и т. д.
Для межзвездных полетов космических кораблей необходимы значительно более высокие скорости. Ближайшие к нам звезды находятся на расстоянии около четырех световых лет. Поэтому для экспедиции приемлемой продолжительности необходимы скорости не меньше 0,1 скорости света с. Формула Циолковского показывает, что для достижения таких скоростей ракеты на химическом топливе абсолютно непригодны. Если даже допустить, что скорость газовой струи v0TH удастся довести до 10 км/с, то при v = 0,lc отношение т^т составит е3000, что равно примерно Ю1300. При полезной массе т всего лишь в одну тонну стартовая масса ракеты должна составлять Ю1300 тонн. Эта величина превосходит всякое воображение. Для сравнения укажем, что масса нашей Галактики равна «всего лишь» 3 • 1038 тонн.
