Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
В отличие от максимальной скорости 1>т, значение которой определяется коэффициентом трения ц. и радиусом R круговой трассы, ответ на поставленный в задаче вопрос не зависит от этих параметров — для всех круговых трасс при любом типе покрытия он один и тот же. От мотоциклиста требуется лишь умение обеспечить выполнение условий оптимального разгона. А это совсем не просто: нужно выдерживать правильный угол между скоростью и силой сцепления ведущего колеса с дорогой, добиваясь, чтобы в каждый момент она имела максимально возможное значение.
• Как известно, сила трения скольжения направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Однако в рассмотренной выше задаче считалось, что сила трения направлена под некоторым углом к скорости мотоциклиста. Нет ли здесь противоречия?
124
II. ДИНАМИКА
Почему при движении с трением уравнение второго закона Ньютона имеет разный вид в зависимости от направления движения? ^
§ 22. Силы тяготения
Гравитационные силы описываются наиболее простыми количественными закономерностями. Но несмотря на эту простоту проявления сил тяготения могут быть весьма сложны и многообразны.
Гравитационные взаимодействия описываются законом всемирного тяготения, открытым Ньютоном:
Материальные точки притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними'.
AT11 YH / 1 \
F=G-~1. (1)
Гравитационная постоянная. Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Эта величина характеризует интенсивность гравитационного взаимодействия и является одной из основных физических констант. Ее числовое значение зависит от выбора системы единиц и в единицах СИ равно 6,673-10-11 Н-м2/кг2 (или м3/(кг-с2)). Из формулы (1) видно, что гравитационная постоянная численно равна силе притяжения двух точеных масс по 1 кг, расположенных на расстоянии 1 м друг от друга. Значение гравитационной постоянной столь мало, что мы не замечаем притяжения между окружающими нас телами. Только из-
за огромной массы Земли притяжение окружающих тел к Земле решающим образом влияет на все, что происходит вокруг нас.
Формула (1) дает только модуль силы взаимного притяжения точечных тел. На самом деле речь в ней идет о двух силах, поскольку сила тяготения действует на каждое из взаимодействующих тел. Эти силы равны по модулю и противоположны по направлению в соответствии с третьим законом Ньютона.
Они направлены вдоль прямой, соединяющей материальные точки. Такие силы называются центральными. Векторное выражение, например для силы F12, с которой тело массы
Рис. 91. Гравитационное взаимодействие
т,
действует на тело массы т1 (рис. 91), имеет вид
§ 22. СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ
125
Хотя радиусы-векторы материальных точек rj и г2 зависят от выбора начала координат, их разность, а значит, и сила F12 зависят только от взаимного расположения притягивающихся тел.
Законы Кеплера. К известной легенде о падающем яблоке, которое якобы навело Ньютона на мысль о тяготении, вряд ли следует относиться серьезно. При установлении закона всемирного тяготения Ньютон исходил из открытых Иоганном Кеплером на основании астрономических наблюдений Тихо Браге законов движения планет Солнечной системы. Три закона Кеплера гласят:
1. Траектории, по которым движутся планеты, представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты, проведенный из Солнца, ометает за равные промежутки времени одинаковые площади.
3. Для всех планет отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси эллиптической орбиты имеет одно и то же значение.
Орбиты большинства планет мало отличаются от круговых. Для простоты будем считать их точно круговыми. Это не противоречит первому закону Кеплера, так как окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого оба фокуса совпадают. Согласно второму закону Кеплера движение планеты по круговой траектории происходит равномерно, т. е. с постоянной по модулю скоростью. При этом третий закон Кеплера говорит о том, что отношение квадрата периода обращения Т к кубу радиуса круговой орбиты R одинаково для всех планет:
= const. (3)
я3
Движущаяся по окружности с постоянной скоростью планета обладает центростремительным ускорением, равным 4n2R/T2. Воспользуемся этим, чтобы определить силу, которая сообщает планете такое ускорение при выполнении условия (3). Согласно второму закону Ньютона ускорение планеты равно отношению действующей на нее силы к массе планеты:
F_
m'
(4)
Отсюда, учитывая третий закон Кеплера (3), легко установить, как сила F зависит от массы m планеты и от радиуса R ее круговой орбиты. Умножая обе части (4) на R2, видим, что в левой части согласно (3) стоит одинаковая для всех планет величина. Значит, и правая часть, равная FR2/m, одинакова для всех планет. Поэтому F~m/R2, т. е. сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния от Солнца и прямо пропорциональна массе планеты. Но Солнце и планета выступают в их гравитационном
