Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рнс. 2.1. Точечный заряд q между зазем-ленными проводящими сферами
236
VI. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
всеми зарядами. Приравнивая его нулю, получаем 1
4леп
iL4.isL4.IS.
г ‘ а b
= 0.
Решая систему уравнений (1) и (3), находим
Яа = — Я-
а Ь-
Яь
Ь т-
г Ь—а
(3)
(4)
Как и следовало ожидать, знаки индуцированных зарядов противоположны знаку заряда q. Если в этих формулах положить радиус внутренней сферы а равным нулю, то мы приходим к предыдущей задаче о точечном заряде внутри проводящей сферы. При этом, как видно из (4), qa= 0, qb=—q.
Если устремить к бесконечности радиус внешней сферы Ь, то мы приходим к задаче о точечном заряде вблизи проводящей сферы радиуса а. Первая из формул (4) в этом случае дает индуцированный на сфере заряд:
Яа =
~Я Т
(5)
Рис. 2.2. Точечный заряд q между бесконечными проводящими плоскостями
При неограниченном приближении заряда q к внешней поверхности сферы, т. е. при г-+а, индуцированный заряд все меньше и меньше отличается по модулю от подносимого к сфере заряда q.
Как вы думаете, какой смысл имеет в рассматриваемом предельном случае Ь—уоо заряд qb в формуле (4)?
Используя решение этой задачи, можно найти индуцированные заряды в том случае, когда точечный заряд q находится между двумя параллельными бесконечными проводящими плоскостями (рис. 2.2). Для этого нужно устремить к бесконечности радиусы обеих сфер, сохраняя неизменными расстояние между ними и положение заряда q относительно поверхностей сфер: а->оо, 6-voo, Ь—a=const=d1+d2. Выполняя аккуратно предельный переход, находим
Ч‘ = -Ч -к+т,- = <»>
При симметричном расположении заряда q между плоскостями qi=qi=—q/2.
з. заряженная полусфера
237
Разумеется, можно поискать другой, независимый путь решения. В самом деле, плоскость «проще», чем сфера. Задача с плоскостями является предельным, более простым случаем задачи- со сферами. Поэтому естественно придумать для нее более простое независимое решение, которое молено было бы использовать для проверки решения задачи со сферами.
Будем рассуждать следующим образом. Что произойдет, если заряд q переместить в другую точку плоскости А (рис. 2.2)? Очевидно, что изменится только распределение индуцированных на плоскостях зарядов, сами же заряды qr и q2 останутся прежними: индуцированные заряды просто перемещаются вместе с зарядом q. Если поместить на этой плоскости несколько точечных зарядов, то вследствие принципа суперпозиции каждый заряд индуцирует на плоскостях такие заряды, как если бы он был один. Поэтому если нас интересует не распределение индуцированных зарядов, а только их величина, то заряд q можно равномерно «размазать» по всей плоскости А. От этого индуцированные заряды не изменятся, а задача становится совсем простой, ибо поле теперь однородно. Напряженность поля слева от этой плоскости Ei~qJe0S (S — площадь пластин), справа от нее E2=qJe0S, так как индуцированные на внутренних поверхностях пластин заряды qt и <72 в этом случае распределены равномерно. Поскольку разность потенциалов между плоскостью А и каждой из пластин одна и та же, то Eid1=E2d1, откуда немедленно следует, что
(7)
Снаружи пластин поля нет, индуцированные заряды находятся только на внутренних поверхностях пластин, .я на основании теоремы Гаусса можно утверждать, что
<?г+<7а+<7=0. (8)
Решая совместно уравнения (7) и (8), получаем ответ — формулы (6).
Не всегда, разумно сводить задачу к предыдущей! А
3. Заряженная полусфера. Поверхность полусферической чаши радиуса R с тонкими стенками заряжена с постоянной плотностью. Определить потенциал в каждой точке поверхности, которая стянула бы чашу, как «кожа на барабане».
238
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
д На первый взгляд задача кажется довольно сложной. Если выбрать на интересующей нас поверхности произвольную точку, то расстояние от нее до разных точек заряженной полусферы будет неодинаковым: впечатление такое, что не обойтись без помощи высшей математики. Но не будем торопиться! Оказывается, задачу можно решить очень просто, используя принцип суперпозиции электрических полей и соображения симметрии.
Рассмотрим сначала равномерно заряженную по поверхности сферу. Как мы знаем, электрическое поле внутри нее
отсутствует. С другой стороны, поле внутри сферы можно рассматривать как суперпозицию полей двух полусфер. Рассмотрим электрическое поле, создаваемое зарядами верхней и нижней полусфер в плоскости их соприкосновения. Выберем произвольную точку А на этой плоскости (рис. 3.1) и проведем через нее вертикальную плоскость, перпендикулярную диаметру сферы ВС, на котором лежит точка А. Равная нулю напряженность электрического поля сферы в этой точке является векторной суммой напряженностей полей, создаваемых отдельными элементами верхней и нижней полусфер. Как легко убедиться, равна нулю векторная сумма напряженностей Е\ и ?,, создаваемых участками SL и S2. Участок S', нижней полусферы, симметричный участку S2 относительно плоскости соприкосновения полусфер, создает в точке А напряженность поля Е'2 такую, что векторная сумма Zfj и E'i перпендикулярна плоскости соприкосновения полусфер. Поскольку для каждого элемента Si слева от вертикальной плоскости всегда найдется соответствующий элемент S-1 справа от этой плоскости, ясно, что полная напряженность поля, создаваемая в точке А всей нижней полусферой (т. е. полукруглой чашей), перпендикулярна плоскости соприкосновения (т. е. воображаемой поверхности, которая стягивает чашу, как «кожа на барабане»). Точка А была выбрана совершенно произвольно, поэтому сказанное справедливо для всех точек интересующей
