Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Этот результат становится особенно очевидным, если воспользоваться картиной линий напряженности. Как известно, линии напряженности электростатического поля всегда начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных и число линий напряженности однозначно связано с величиной заряда. Вне сферы поля нет, т. е. нет линий напряженности. Другими словами, в данном случае все линии напряженности начинаются и оканчиваются на зарядах q и q', откуда сразу следует, что полный заряд q-rq'—Q.
Если заряд q помещен в центре шара, то картина линии напряженности симметрична: они представляют собой радиальные прямые, как и в случае уединенного точечного заряда. Картина линий напряженности электрического поля внутри шара при смещенном из центра заряде q будет сложнее. Вблизи точечного заряда она, разумеется, останется почти без изменений, однако по мере удаления от заряда линии напряженности искривляются, так что к внутренней поверхности шара они подходят под прямым углом (рис. 1.1). Поэтому густота линий напряженности и, следовательно, поверхностная плотность индуцированных зарядов будут наибольшими в той точке внутренней поверхности шара, которая расположена ближе всего к заряду q.
Перейдем ко второму случаю, когда тонкостенный металлический шар изолирован. Теперь электрическое поле есть
234
VI. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
как внутри, так и вне шара (рис. 1.3). В толще стенок, т. е. в проводнике, поле, конечно, отсутствует.
Начнем опять с простого частного случая: заряд q расположен в центре шара. Из симметрии ясно, что индуцированные заряды на внутренней и внешней поверхностях
заряда, расположенного в центре шара.
При смещении заряда q из центра сферы, как и в предыдущем случае, изменяется распределение заряда qx на внутренней поверхности шара, причем так, чтобы поле в толще стенок шара оставалось равным нулю. Поле в полости внутри шара при этом, конечно, меняется, но индуцированный заряд qt остается прежним. Заряд на внешней поверхности q2=q по-прежнему распределен равномерно и поля внутри сферы не создает. Таким образом, поле вне шара не зависит от расположения заряда q внутри него.
Отметим, что если изолированный шар был заряжен еще до внесения в него заряда q, то этот избыточный заряд Q, как легко сообразить, останется равномерно распределенным по наружной поверхности, так что полный заряд этой поверхности будет равен q+Q. Внутри шара картина распределения поля и индуцированных зарядов останется без изменений. ^
шара распределены равномерно. Поскольку поля в толщине стенок шара нет, индуцированный на внутренней поверхности заряд qt равен —q. Заряд q2, находящийся на наружной поверхности шара, поля внутри него не создает. Из электронейтральиости проводящего шара следует, что q2=—qi=q- Таким образом, потенциал вне ша-
Рис. 1.3. Если шар изолирован, то электрическое иоле есть и снаружи
4ле0 г ’ даваемое этой системой электрическое поле совпадает с полем точечного
1 q
ра равен -j——— ,т. е. соз-
2. Заряд между двумя сферами. Точечный заряд q находится между двумя заземленными проводящими кон-
2. ЗАРЯД МЕЖДУ ДВУМЯ СФЕРАМИ
235
центрическими сферами с радиусами а и b на расстоянии г от центра (а<г<1о) (рис. 2.1). Найти индуцированные на сферах заряды.
л Если читатель разобрался в предыдущей задаче, то ему совершенно ясно, что электрическое поле есть только в пространстве между сферами, и поэтому полный заряд системы равен нулю:
9 + 9« + <7б = 0. (1)
Второе уравнение для нахождения неизвестных зарядов qa и qb можно получить, записывая выражения для потенциала в центре сфер. Конечно, потенциал во всех точках внутри малой сферы одинаков и равен потенциалу Земли, но мы выбираем для составления уравнения именно центр сферы, поскольку все индуцированные на каждой сфере заряды находятся от этой точки на одинаковых расстояниях а и Ь. В соответствии с принципом суперпозиции потенциал в центре сфер равен сумме потенциалов полей, создаваемых зарядом q и индуцированными на сферах зарядами. Рассмотрим, например, поле, создаваемое зарядами малой сферы. Разбивая индуцированный на ней заряд qa на малые части Aqh которые можно считать точечными зарядами, получаем для потенциала в центре сферы выражение
.J. _J_ У Ag- = Ss—. io\
4ле0 ^ о 4ne0aZj 4ne0a V-t
i i
Замечательно, что такое простое выражение для потенциала получается несмотря на то, что создающие электрическое поле заряды распределены на сфере неравномерно. Более того, для нахождения потенциала в центре сферы и не нужно знать, как именно распределены индуцированные заряды.
Аналогичное выражение можно получить для потенциала, создаваемого в центре сфер зарядом qb> индуцированным на внешней сфере. Теперь легко написать выражение для полного потенциала в центре сфер, создаваемого
