Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Е = о/е0. (4)
VI. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
231
Емкость уединенного проводника определяется только его формой и размерами и измеряется отношением сообщаемого проводнику заряда Ai? к происходящему при этом изменению потенциала проводника Дер.
Емкость системы двух проводников, заряженных равными по модулю разноименными зарядами (конденсатор), определяется отношением заряда одного проводника к разности потенциалов между ним и другим проводником и зависит только от размеров, формы и взаимного расположения проводников. Например, емкость плоского конденсатора с пластинами площадью Sue расстоянием d между ними в вакууме
c=Jr" <5)
Заряженный конденсатор обладает энергией. Если заряд конденсатора равен q, а разность потенциалов между пластинами U, то его энергия
пт яи си2 я*
W-—=— =2С- (6)
Энергию заряженного конденсатора можно рассматривать либо как энергию взаимодействия зарядов, сосредоточенных на его обкладках, либо как энергию создаваемого этими зарядами электрического поля. В рамках электростатики оба эти представления эквивалентны. При изучении переменных во времени полей (электромагнитные волны) можно установить, что в действительности энергия сосредоточена в поле.
Выражение для энергии плоского конденсатора (6), если ее рассматривать как энергию заключенного между обкладками электростатического поля, имеет вид
№ = Щ'pLt (7)
где V—Sd — объем, занимаемый полем. Коэффициент при V имеет смысл объемной плотности энергии электростатического поля.
Если пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком с проницаемостью е, емкость конденсатора увеличивается в е раз:
(8)
Выражение для энергии электрического поля в диэлектрике, как следует из формул (6) и (8), может быть записано в виде
Г = -^|— . (9)
В этой формуле Е — напряженность электрического поля в диэлектрике.
232
VI. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
1. Заряд внутри проводящей сферы. Точечный заряд q помещен внутрь тонкостенного проводящего шара радиуса R и находится на расстоянии / от его центра. Какие заряды будут индуцированы на внутренней и наружной поверхностях шара и какова будет картина электрического поля в двух случаях: 1) шар заземлен, 2) шар изолирован и не заряжен?
л Рассмотрим сначала первый случай. Металлический шар заземлен, т. е. соединен проводником с Землей — проводящим телом огромных размеров. Потенциал Земли практически не меняется, несмотря на то, что при таком
соединении какой-то заряд мог перейти с шара на Землю или наоборот. Если принять потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю, то потенциал Земли и, следовательно, соединенного с ней металлического шара также будет равен нулю. В самом деле, вследствие огромных по сравнению с шаром размеров Земли можно считать, что она простирается до бесконечности.
В толще стенок металлического шара, как и в любом проводнике в состоянии равновесия, электрическое поле отсутствует. Нет его и в окружающем шар пространстве (рис. 1.1). В самом деле, ничего не изменится, если мы будем считать, что все это пространство заполнено проводником (рис. 1.2). Поэтому на наружной поверхности заземленного металлического шара электрического заряда нет.
Найдем заряд, индуцированный на внутренней поверхности металлического шара. Попробуем сначала упростить задачу: поместим точечный заряд q в центр сферы (это частный случай). Из симметрии совершенно ясно, что
Рис. 1.1. Если шар заземлен, то электрическое поле есть только внутри него
Рис. 1.2. Электрическое поле в полости проводника не зависит от того, что находится вокруг
1. ЗАРЯД ВНУТРИ ПРОВОДЯЩЕЙ СФЕРЫ
233
индуцированный заряд распределится по внутренней поверхности шара равномерно. По принципу суперпозиции электрическое поле вне сферы есть сумма полей, создаваемых точечным зарядом q и индуцированным зарядом q'. Так как вне шара эти поля компенсируют друг друга, то q'=—q, т. е. на внутренней поверхности шара индуцируется равный по модулю заряд противоположного знака.
Подумаем, что будет, если заряд q находится в произвольной точке внутри шара. Легко сообразить, что индуцированный заряд ц' не зависит от расположения заряда q внутри шара, т. е. от расстояния I. При перемещении заряда q внутри шара будет меняться лишь распределение индуцированного заряда на внутренней поверхности шара.
Поскольку поле в любой точке вне сферы отсутствует, можно утверждать, что система зарядов q и q' электроней-тральна: 9'=—q. (Заметим, что обратное утверждение неверно: из нейтральности системы не следует, что создаваемое ею поле равно нулю; в качестве примера такой сйстемы можно привести диполь.)
