Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для исследования зависимости силы F от угла р необходимо исключить из этих уравнений N и FTP, так как они сами зависят от угла р. На основании закона Кулона — Амонтона
FJV=pN. (4)
Выражая силу N из уравнения (3) и подставляя в (4), получаем
•FTp=fi (mg cos a—F sin P). (5)
Учитывая это выражение для силы трения, из уравнения
(2) находим
„ sina + ucosa
F = mS cosl-Л sing •
Числитель этого выражения не зависит от Р, поэтому .сила F будет наименьшей, когда знаменатель максимален. Поэтому будем искать максимум выражения
/(P)=C0S P+I-I sin р. (7)
Для нахождения максимума можно приравнять нулю производную этой функции: /'(Р)=0. Можно найти максимум и элементарно, сведя /(Р) к одной тригонометрической функции угла р. Введем некоторую величину ср так, чтобы tg ф был равен коэффициенту трения fi:
(x=tg ф=э1п ф/cos ф. (8)
Такая замена возможна при любом |я, так как тангенс изменяется от —оо до оо. Подставляя р, из соотношения (8)
в выражение (7) и приводя правую часть к общему знаменателю, получаем
. _cos ft cos (p4- sin ft sin ф_ cos (ft — ф)
' COS ф COS ф ' '
Теперь очевидно, что величина /(Р) максимальна при р=Ф, т. е. при
p=arctg р.. (10)
Вот под таким углом Р и следует тянуть санки за веревку. Сила F при этом будет наименьшей. Чтобы найти ее, подставим в (6) выражение (8) для у и учтем, что в интересую-
42
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
щем нас случае Ф={5. В результате после простых преобразований получаем
F—mg sin (а+Р). (11)
Проанализируем полученный ответ. Прежде всего отметим, что приведенное решение имеет смысл только тогда, когда получившееся значение (3 таково, что а+{$<:я/2. Если а+р>я/2, то, как видно из рис. 3.2, сила F отклонялась бы влево от вертикали и не могла бы тащить санки в гору. В предельном случае а+|3=я/2 сила F направлена вертикально вверх
и, как видно из формулы (11), равна по модулю силе тяжести mg. Это значит, что сила F просто удерживает санки на весу, а сила Q равна нулю.
Таким образом, форма ответа зависит от угла а и коэффициента трения [л. Если а+arctg |д,-<я/2, то ответ на поставленные вопросы дается формулами (10) и (11). В противном случае сила F должна быть направлена вертикально вверх и равна по модулю силе тяжести mg.
Эта задача допускает изящное графическое решение. Для этого заметим, что формально введенная соотношением (8) величина ф имеет простой физический смысл: в силу закона Кулона — Амонтона (4) ф есть угол, образованный силой реакции опоры Q с нормалью к наклонной плоскости (рис. 3.2). Поэтому уравнение (1) легко исследовать графически.
Сначала изобразим на чертеже известную и по модулю, и по направлению силу mg (рис. 3.3). Что касается слагаемого Q, то нам заранее известно только его направление: как видно из рис. 3.2, оно составляет угол ф=arctg [л с нормалью к наклонной плоскости, т. е. угол ос+ф с вертикалью. Поэтому через конец вектора mg проводим прямую, составляющую угол а+ф с вертикалью. На этой прямой будем откладывать силу Q, совмещая ее начало с концом вектора mg. Далее в соответствии с уравнением (1) строим силу F, которая должна замыкать треугольник сил, т. е. соединять конец вектора Q с началом вектора mg. Из рис. 3.3 видно, что модуль силы F будет наименьшим, когда
определение наименьшей силы F
4. ДОСКИ НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
43
ее направление образует прямой угол е направлением Q, т. е. угол а+ф с горизонтом или, другими словами, угол ф=ап^ {А со склоном горы.
Из рис. 3.3 видно, что это решение имеет смысл, только если a+arctg ц.<я/2. Обычно коэффициент трения невелик, и это условие не выполняется только при углах а, близких к я/2. Значит, решение, выражаемое формулой (10), может оказаться несправедливым только при подъеме на очень крутую гору.
В заключение предлагаем подумать над вопросом, почему передние колеса деревенской телеги, к оси которой прикрепляются оглобли, как правило, меньше задних. А
4. Доски на наклонной плоскости. На наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом, лежат две доски, одна на другой (рис. 4.1). Можно ли подобрать такие значения масс досок mi и т2, коэффициентов трения досок о плоскость (ij и друг о друга ц2, чтобы нижняя доска выскользнула из-под верхней? В начальный момент доски покоятся.
А На первый взгляд это самая обычная задача. Следует рассмот- Рнс 4л Доски на нак. реть все действующие на доски силы лонной плоскости
и, пользуясь законами Ньютона, составить уравнения движения. Решив их, найдем ускорения ах и а2, и для ответа на поставленный вопрос останется только выяснить, при каких условиях ускорение нижней доски ах больше ускорения верхней а2. Однако, попытавшись выполнить эту программу, мы сразу столкнемся с трудностью. Для решения уравнений нужно знать, как направлены все действующие силы. Но как направлены силы трения досок друг о друга? Это зависит от их относительной скорости, т. е. от того, какая из досок соскальзывает с большим ускорением. Получается заколдованный круг: чтобы найти ускорения, надо знать направления сил, а чтобы найти направления сил, требуется знать, какое из ускорений больше. Такое положение характерно для многих задач, где учитывается трение. Конечно, можно последовательно перебирать все мыслимые варианты и исключать те из них, которые приводят к нелепому результату. Но можно найти иной подход, чтобы подобных проблем не возникало.
