Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Но вернемся к нашей «нефизической» задаче. Даже при таких упрощениях на первый взгляд не ясно, с чего начинать. Обратимся к вопросу, поставленному в задаче: при каком условии тело тонет в воде? Тело тонет, если его масса т больше массы воды ш0 того же объема, что и тело. Таким образом, требуется выяснить, при каких условиях mjm<. 1.
Движение тела в воде происходит под действием двух постоянных сил: силы тяжести mg и выталкивающей силы Архимеда —m0g, и, следовательно, будет равнопеременным с ускорением «=#(1—mjm). Поскольку скорость тела перед входом в воду v0 \f2gh, то перемещение тела в воде за
Во втором случае, когда тело сброшено с высоты kh, перемещение тела в воде за то же время /
время /
По условию задачи sjsi=l, т. е.
V 2kgh + (1 — т0/т) gt/2 ^
V^gh+ (1 — Щ/т) gt/2
(О
2. НЕФИЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
39
Обозначим для удобства (1—mjm)gtl2 через х. Тело будет тонуть при т0/т<. 1, т. е. при .?>0. Запишем уравнение (1), используя введенное обозначение:
V2kgh-}-х---1(У 2gh х). (2)
Выясним, при каком условии корень этого уравнения х = V2gh (Кk — l)l(l— 1) положителен. Элементарным анализом можно убедиться, что при fc>l значение х положительно при / < Kfe, а при /г<1 значение .?>0 при / > Vk.
Таким образом, полученный результат можно сформулировать следующим образом. Тело будет тонуть в воде, если при увеличении начальной высоты в k раз глубина погружения за первую секунду увеличится менее чем в Vk раз. Если же глубина погружения за первую секунду возрастет более чем в Vk раз, то тело будет всплывать.
Подумаем теперь, как можно уточнить решение этой задачи, если отказаться от некоторых из сделанных выше упрощающих предположений. Оказывается, сравнительно просто можно учесть движение воды, вытесняемой телом.
Прежде всего отметим, что при равномерном движении тела в жидкости сопротивление, которое оказывает жидкость его движению, обусловлено силами вязкого трения. Однако при неравномерном движении картина будет существенно иная. Даже при движении в идеальной жидкости следует учитывать, что ускорение сообщается не только телу, но и частицам самой жидкости. Как это скажется на движении тела?
Чтобы покоившееся тело массы т привести в движение со скоростью v, нужно совершить работу, равную /пи2/2. Из-за увлечения жидкости, окружающей тело, ее частицы приобретут скорости, пропорциональные скорости тела v. В результате увлеченная телом жидкость будет обладать кинетической энергией, пропорциональной и2, для сообщения которой потребуется дополнительная работа. Поэтому работа по приведению в движение погруженного в жидкость тела пропорциональна у2, но больше mu2/2. Записывая эту работу в виде
A =Mv2/2,
где М~>т, приходим к выводу, что при погружении тела в жидкость оно будет двигаться под действием внешних сил так, как будто его масса увеличилась. Дополнительная, так называемая присоединенная масса характеризует инерт-
40
П. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
ные свойства окружающей жидкости. Значение присоединенной массы зависит от плотности жидкости и формы тела.
Посмотрим, что изменится в решении задачи при учете присоединенной массы. Очевидно, что ускорение тела при его движении в жидкости под действием силы тяжести mg и выталкивающей силы — m0g будет равно a' =g(m—т0)/М. Именно на эту величину заменится ускорение а= =g(l—mjm) в выражениях для Si и s2 и в уравнении (1). Если теперь через х обозначить g(m—m0)t/2M, то уравнение (2) будет иметь прежний вид. Так как тело тонет при т>т0, то из уравнения (2), как и раньше, нужно найти условия, при которых л:>0.
Таким образом, учет присоединенной массы не изменяет ответа в этой задаче. ^
3. Санки на горе. Склон горы образует угол а с горизонтом. Под каким углом |3 (рис. 3.1) следует тянуть за веревку, чтобы равномерно тащить санки в гору с наименьшим усилием? Какова должна быть эта сила?
А Считая санки материальной, точкой, можно принять
Рис. 3.1. Под каким углом (5 следует тянуть за веревку?
Рис. 3.2. Силы, действующие на санки
что все действующие на санки силы — и сила тяжести mg, и сила реакции поверхности горки Q, и сила F, с которой тянут за веревку,— приложены в одной точке (рис. 3.2). При равномерном движении санок векторная сумма всех действующих сил равна нулю:
F+Q + mg = 0. (1)
Для исследования уравнения (1) спроецируем это векторное равенство на два взаимно перпендикулярных направления: вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей. При этом учтем, что проекция силы Q на направление нормали к плоскости есть нормальная сила реакции N,
3. САНКИ НА ГОРЕ 41
а проекция Q на направление вдоль плоскости есть сила трения скольжения FTP. В результате вместо (1) получим
F cos р—FTV—mg sin а=0, (2)
F sin P+N—mg cos a=0. (3)
