Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
После несложных преобразований это уравнение приводится к виду
Уравнение (1) — это уравнение эллипса, изображенного на рис. 6.3, а и b — малая и большая полуоси этого эллипса.
Как известно, эллипс — это геометрическое место точек, сумма расстояний до которых от двух заданных точек, называемых фокусами, одинакова. Эта сумма равна большой оси эллипса 2Ъ. Можно убедиться, что точка пересечения всех лучей (фокус пучка лучей) совпадает с дальним фокусом эллипса. Это совсем несложно, требуется лишь выполнить простые алгебраические преобразования.
Итак, мы нашли форму преломляющей поверхности, удовлетворяющей поставленному условию: все падающие на нее параллельным пучком лучи собираются в одной точке. Однако такой параллельный пучок не может быть сколь угодно широким: при заданном расстоянии F ширина пучка d не может, как видно из формулы (2), превышать значение
Fn = y+nV (F—yY + х2.
(Fn—y)2=n2[ ( F—у)2-\-х2].
*1 , (у—Щ2 __ i
аг Г Ьг — »
О)
где
(а < Ь). (2)
в. ФОКУСИРОВКА ПУЧКА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ 405
Теперь подумаем, как с помощью такой преломляющей поверхности можно создать линзу, свободную от сферической аберрации для параллельного пучка лучей. Очевидно, что вторая преломляющая поверхность такой линзы должна быть перпендикулярна всем сходящимся лучам, так как только в этом случае ома не изменит их направления
Рис. 6.3. Пучок параллельных Рис. 6.4. Вторая поверхность лучей после преломления на фокусирующей линзы должна поверхности эллипсоида вра- быть частью сферы, перпенди-щения собирается в дальнем кулярной лучам
фокусе
и все лучи по-прежнему будут пересекаться в одной точке F. Такой поверхностью является сфера с центром в точке F. Чтобы получить линзу максимального диаметра при заданном расстоянии F, радиус R кривизны ее внутренней поверхности следует выбирать равным большой полуоси эллипса b (рис. 6.4).
До сих пор молчаливо предполагалось, что показатель преломления rO>I, т. е. верхняя среда на рис. 6.2 оптически более плотная.
Однако если под символом п понимать относительный показатель преломления верхней.среды относительно нижней, то имеет смысл рассмотреть и противоположный случай л<1, когда параллельный пучок лучей испытывает преломление при переходе из более плотной в менее плотную
406
IX. ОПТИКА
среду. Поскольку при выводе уравнения преломляющей поверхности условие п>1 не использовалось, то и в случае п<1 уравнение искомой границы по-прежнему дается формулой (1), но только при п<. 1, как видно из (2), а2<0. В этом случае выражение (1) представляет собой уравнение гиперболы, изображенной на рис. 6.5.
Чтобы с помощью такой преломляющей поверхности создать линзу, в качестве второй преломляющей поверхности следует выбрать плоскость в нижней среде, перпендикулярную оси пучка. Расстояние от этой плоскости до вершины преломляющей поверхности выбирается в зависимости от того, какого диаметра мы хотим иметь линзу. Ограничений на размер диаметра теперь нет (штриховая прямая на рис. 6.5).
Казалось бы, нам удалось построить идеальную линзу, по крайней мере для монохроматических лучей. Однако такая линза совершенно непригодна для получения изображений даже бесконечно удаленных предметов. В самом деле, в одной точке пересекаются только лучи, параллельные оси симметрии такой линзы» Пучки параллельных лучей, наклоненные к оптической оси линзы, не пересекаются в одной точке. ^
Рис. 6.5. При п< 1 фокусирующая параллельный пучок поверхность представляет собой гиперболоид вращения
7. Черенковское излучение. При равномерном движе-иии электрона в среде со скоростью, превышающей скорость света в данной среде, наблюдается так называемый эффект Вавилова — Черенкова. Он заключается в том, что электрон своим полем когерентно возмущает молекулы или атомы среды, благодаря чему они становятся источниками световых волн, распространяющихся в определенном направлении. Пользуясь принципом Гюйгенса, определите, в каком направлении распространяется излучение.
Д В среде с показателем преломления л>1 световые волны распространяются со скоростью v=c/n, которая меньше скорости света в вакууме.
Для нахождения направления распространения черен-
7. ЧЕРЕНКОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
407
ковского излучения необходимо в какой-то момент времени определить положение фронта световой волны, возбуждаемой электроном при его движении. На рис. 7.1 изображена прямолинейная траектория равномерного движения электрона в среде. Каждую точку траектории электрона можно рассматривать как источник сферической световой волны, распространяющейся со скоростью v. Пусть А, В и С — точки траектории, в которых находился электрон через последовательные равные промежутки времени At.
Рис. 7.1. Построение по принципу Гюйгенса фронта волны, излучаемой электроном, скорость которого больше скорости света в данной среде
