Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
При решении задач, в которых встречается колебательное движение, следует помнить, что при гармонических колебаниях, когда равнодействующая всех сил направлена к положению равно-
36
II. ДИНАМИКА и ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
(Щ
KZJ
Mg
т«М
весия и пропорциональна смещению, круговая частота колебаний определяется соотношением
со — У к/т,
где т — масса тела, a k — коэффициент пропорциональности между силой и смещением. Применение этой формулы к малым колебаниям математического маятника длиной I дает со =
1. Неподвижный блок. Через неподвижный блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами т и М, причем т<^М (рис. 1.1). Найти силу натяжения нити при движении грузов, пренебрегая трением, массами блока и нити.
Л При указанных в условии идеализациях задача, конечно же, тривиальна. Если т<^М, то тяжелый груз будет падать практически свободно, т. е. почти с ускорением g. Но тогда в силу нерастяжимости нити легкий груз будет вынужден подниматься с таким же ускорением. Для этого действующая на него со стороны нити сила должна быть вдвое больше силы тяжести. Поэтому сила натяжения нити Tx2mg. Так как массой блока можно пренебречь, то сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока.
Разумеется, этот результат можно получить и строго. Рассматривая действующие на грузы силы (рис. 1.1) и проецируя уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов на вертикальное направление, получаем
Mg—T~Ma, (1)
mg—т=—та. (2)
Исключая из этих уравнений ускорение грузов а, находим
гг 2тМ
Ш
М
й-
т
ту
Рис. 1.1. Силы, действующие на грузы во время движения
т + ЛГ
(3)
При в знаменателе можно пренебречь т по срав-
нению с М. Это дает T~2mg.
А теперь предположим, что, начав решать эту задачу строго и записав уравнения (1) и (2), мы сообразили, что
2. НЕФИЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
37
при заданном условии ускорение а практически
равно g. Тогда для нахождения Т можно подставить это значение ускорения a—g в уравнение (1) или (2). Подстановка a—g в уравнение (2) действительно дает значение T=2mg. А вот подстановка в уравнение (1) приводит к неожиданному результату 7=0. В чем же тут дело? Ведь уравнения (1) и (2) точные, и строгое решение возможно только при использовании обоих этих уравнений.
Этот пример ярко иллюстрирует то обстоятельство, что в физике понятия «малая величина» и «большая величина» сами по себе бессмысленны. Если «большая» или «малая», то обязательно должно быть указано, по сравнению с чем. Подставляя приближенное значение a—g в уравнения (J) или (2), мы выражаем силу натяжения нити Т через силу тяжести, действующую соответственно на тяжелый или па легкий груз..Поскольку сила Т того же порядка величины, что и сила тяжести легкого груза mg, то уравнение (2) дает правильный ответ.
Подстановка a=g в уравнение (1) не приводит к правильному ответу, ибо по сравнению с большой величиной Mg и нуль, и 2mg — это почти одно и то же. Чтобы уравнение
(1) приводило к правильному ответу, в нем нужно учесть малое отличие а от g.
Используя понятие большой или малой величины, нужно обязательно отдавать себе отчет, с чем эта величина сравнивается. И хотя во многих случаях это явно не оговаривается, но всегда подразумевается. Так, например, в этой задаче, пренебрегая массой блока и массой нити, мы па оговорили, по сравнению с чем малы эти величины. А кстати, по сравнению с чем? А
2. Нефизическая задача. Тело сбрасывается в воду с некоторой высоты без начальной скорости; при этом измеряется глубина его погружения за одну секунду после вхождения в воду. Установлено, что если начальную высоту изменить в k раз, то глубина погружения изменится в I раз. При каких соотношениях между k и I тело тонет в воде? Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.
Д Любой физический процесс представляет собой сложное явление. Составляя условие задачи, мы фактически всегда упрощаем рассматриваемые явления, отбрасывая несущественные, а часто, к сожалению, и существенные стороны. Например, решая задачи о движении тела, бро-
38
И. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
шенного под углом к горизонту, мы пренебрегали сопротивлением воздуха.
В рассматриваемой задаче предлагается пренебречь еще и сопротивлением воды. Если пренебрежение сопротивлением воздуха часто бывает оправданным (особенно при малых скоростях), то пренебрегать сопротивлением воды в этой задаче нельзя, так как получаемые при таком подходе результаты не имеют ничего общего с действительностью: бессмысленно было бы проверять полученный ответ на опыте. Действительно, мы не учитываем фонтан брызг, поднимаемых телом при ударе о воду; расходящуюся по поверхности волну; вязкость воды; не учитываем движение воды, вытесняемой телом.
И все же такие «нефизические» задачи имеют право на существование: во-первых, благодаря своей четкой постановке (в условии указано, чем пренебречь) они позволяют научиться применять физические законы для количественного анализа искусственно упрощенных явлений; во-вторых, в некоторых случаях такое решение может послужить основой (нулевым приближением) для дальнейших уточнений.
