Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
На последовательно соединенные резистор R, конденсатор С и катушку индуктивности L (рис. 14.1) подается переменное синусоидальное напряжение U(t) — U0cos соt, причем частоту со можно изменять, не меняя амплитуды напряжения U0. Оказалось, что при частотах (Oj и со2 сила тока в цепи одинакова и равна половине максимально возможного значения. При какой частоте со0 достигается максимальное значение тока?
Д Амплитуда переменного тока в рассматриваемой цепи определяется соотношением
/ =_____ ...ио, /п
° VR2 + (wL— 1/соС)а ‘ v '
При фиксированных параметрах цепи R, L и С и заданной амплитуде внешнего напряжения U0 эта формула дает зависимость амплитуды тока в цепи от частоты приложенного напряжения со. Эта зависимость имеет хорошо известный вид резонансной кривой (рис. 14.2). При низких частотах (ю»0) наличие конденсатора практически эквивалентно разрыву в цепи и ток отсутствует. При высоких частотах (со оо) сопротивление конденсатора стремится к нулю, но зато неограниченно возрастает сопротивление катушки индуктивности, и ток снова стремится к нулю. Максимальное
314
VII. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
значение амплитуды тока, как видно из формулы (1), достигается на частоте co0f при которой выражение в скобках обращается в нуль:
со0 = 1/К1С. (2)
В этом случае индуктивное и емкостное сопротивления равны друг другу и в цепи имеет место резонанс напряжений. При to = С0(, ток в цепи зависит только от активного
Рис. 14.1. Последовательная Рис. 14.2. Зависимость ампли-цепь переменного тока туды тока от частоты ш
сопротивления R, его амплитуда равна Ua/R, а сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением отсутствует.
Формула (2) давала бы ответ на вопрос задачи, если бы были известны индуктивность L и емкость С. Однако по
Рис. 14.3. Уравнение (3) имеет еще и два отрицательны* корня
условию задачи нужно выразить со0 через частоты м, и &>*, при которых амплитуда тока вдвое меньше максимальной. Из рис. 14.2 видно, что частота со, лежит между tox и а>а, a сами toi и о2 тем ближе друг к другу, чем острее резонансная кривая.
Для нахождения резонансной частоты ю, поступим следующим образом. Как видно из рис. 14.2, часто':_>1 и
15. ФАЗОВРАЩАТЕЛЬ
315
являются корнями уравнения
Up __________и_о_______ ^
Уtf2+(MZ,—1/шС)2 ’ ' >
поскольку они определяются точками пересечения прямой I9~UJ2R и резонансной кривой (1). Отметим, что кроме имеющих физический смысл положительных корней coj и со2 уравнение (3) имеет отрицательные корни — Oj и —со2, так как правая часть (3) является четной функцией переменной со (рис. 14.3). Возводя (3) в квадрат, получаем
(coL—1/соС)2—3^2=0. (4)
Умножая (4) на со2С2 и заменяя согласно (2) произведение LC на 1/со2, получаем
со4 — со20 (2 + ЗЯ2С2со20) со2 + со5 = 0. (5)
Уравнение (5) биквадратное и, следовательно, имеет четыре корня. Столько же корней имело исходное уравнение (3). Поскольку при возведении уравнения (3) в квадрат мы не могли потерять корней, то корни уравнения (5) совпадают с корнями уравнения (3). По теореме Виета свободный член уравнения (5) равен произведению его корней: co'i(02=coJ, откуда со0 = KwjOV
Обратим внимание на то, что для справедливости полученного ответа нужно лишь, чтобы при частотах 0) = ©! и со = со2 значения тока в цепи были бы одинаковы. Совсем не обязательно, чтобы они составляли именно половину максимального значения. В самом деле, если при частотах (0х и со2 значения тока в п раз меньше его максимального значения, то в левой части уравнения (3) UJ2R нужно заменить на UjnR. Легко убедиться, что свободный член ы>о в уравнении (5) не изменится, поэтому согласно теореме Виета по-прежнему со0 = KwjCOa. ^
15. Фазовращатель. К точкам Л и fi схемы, показанной на рис. 15.1, подается напряжение UAB=U0cos соt. Какое напряжение существует между точками Е и D? При каком условии амплитудное значение этого напряжения совпадает с U0? Каким при этом будет сдвиг фаз между напряжениями UAB и U
А Для решения этой задачи удобно применить метод векторных диаграмм. При этом интересующие нас величины могут быть найдены из наглядных геометрических соображений.
316
VII. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток
Построим векторную диаграмму напряжений на всех элементах схемы. Рассмотрим участок АЕВ. Поскольку сопротивление Rs и емкость С1 соединены последовательно, то векторы, изображающие напряжения URi и UCi, перпендикулярны друг другу, а их сумма изображает приложенное напряжение UAB. При выбранном направлении вращения векторов против часовой стрелки векторная диаграмма этих напряжений показана на рис. 15.2. Опишем
около прямоугольного треугольника, образованного векторами U0д , Uос, и Uа, окружность. Гипотенуза U0 является диаметром этой окружности. Теперь построим векторы, изображающие напряжения URi и Uc . Они также взаимно перпендикулярны, и их сумма равна вектору U0, изображающему приложенное напряжение UАв. Для того чтобы в дальнейшем было удобнее находить интересующее нас напряжение между точками Е и D, будем при построении векторной диаграммы учитывать последовательность соединения элементов С и R в каждом плече схемы. Полная векторная диаграмма напряжений изображена на рис. 15.3. Теперь легко сообразить, что напряжение между точками Е и D, т. е. разность напряжений UR< и UCt, изобразится вектором Uо, который расположен по другой диагонали четырехугольника напряжений. Его направление определяется тем, что мы назовем напряжением между точками Е и D: разность UR—Ucг или UCi—URt. Указанное на рис. 15.3 направление этого вектора соответствует первой возможности. Тогда мгновенное значение напряжения UBD будет описываться выражением
