Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим заряд верхней пластины конденсатора через q. В процессе зарядки конденсатора q изменяется. Скорость изменения заряда верхней пластины dqldt определяет силу тока I в цепи:
1= dqldt. (1)
Формула (1) соответствует такому выбору направления тока, которое указано на рис. 13.2: положительное значение тока в формуле (1) соответствует возрастанию заряда верхней пластины конденсатора, т. е. положительному значению производной dqldt.
В рассматриваемой последовательной цепи сумма напряжений на сопротивлении U R и конденсаторе Uc равна приложенному напряжению U0. Так как напряжение на сопротивлении UR равно произведению тока I на сопротивление R, то
IR + и с = U0. (2)
Подставляя сюда значение тока / через скорость изменения заряда конденсатора из уравнения (1) и учитывая, что напряжение Uc на конденсаторе в любой момент равно q/C, получаем
<3>
Это дифференциальное уравнение для функции q(t) определяет зависимость заряда конденсатора от времени. Его удобно переписать в несколько ином виде, учитывая, что приложенное напряжение U0 равно отношению окончательного заряда конденсатора q0 к его емкости С: U0=qJC. Тогда вместо (3) получим
dq/dt = (q0—q)/RC. (4)
Это уравнение легко привести к хорошо известному виду, если вместо заряда пластины q ввести другую неизвестную величину Q, характеризующую, насколько заряд пластины в данный момент q отличается от окончательного заряда q0:
Q—q<>—q. (5)
Из определения (5) следует, что dqldt——dQldt. Поэтому уравнение (4) после замены (5) принимает вид
dQldt~—Q/RC. (6)
Уравнение (6) означает, что скорость изменения недостающего заряда Q пропорциональна самому, значению Q. Ре-
13. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ С КОНДЕНСАТОРОМ 309
шением такого уравнения является экспоненциальная функция
Q(0ехр(—t/RC). (7)
Постоянную А можно найти из начальных условий. Так как в начальный момент времени t=0 конденсатор не заряжен (<7=0), то, как видно из формулы (о), недостаю* щий заряд Q при этом равен q0. Таким образом, постоянная
Q=qa6xp(-f/t)
О * t
Рис. 13.3. График изменения заряда конденсатора
А в уравнении (7) равна окончательному заряду конденсатора <7о-
График зависимости Q(t) показан штриховой линией на рис. 13.3. Из формулы (7) видно, что произведение RC равно тому промежутку времени х, в течение которого значение Q(t) уменьшается в е раз:
Q (т)~t=RC. (8)
Зависимость заряда конденсатора q от времени для рассматриваемого процесса получается из формулы (5) после
подстановки в нее выражения для Q (/) из (7)з
?(0 = 7о{1—'ехр(—1/%)}. (9)
График q(t), показанный на рис. 13.3, можно построить как разность между постоянным значением окончательного заряда qa и графиком зависимости Q (t). Найденная зависимость заряда конденсатора от времени (9) позволяет легко найти ток в цепи при зарядке конденсатора в любой момент времени. Так как согласно формуле (1) ток есть производная dqldt, то с помощью (9) находим
<7о___ ( t \ Ua
I (t)~ ~ ехр --
R
•ехр
т)-
(10)
При зарядке конденсатора ток максимален в начальный момент (при замыкании ключа) и в дальнейшем экспонен*
310
VII. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
циально убывает со временем. Его график имеет такой же вид, как и график Q{t) на рис. 13.3.
Совершенно аналогично можно рассмотреть процессы при разрядке конденсатора через сопротивление. Пусть в начальный момент времени конденсатор емкости С заряжен до напряжения f/0, т. е. имеет заряд q0=CU0. При замыкании ключа в цепи возникает ток, который убывает номере разряда конденсатора (рис. 13.4). Если по-прежнему
Рис. 13.4. При таком выборе направления тока его значение / связано с зарядом верхней пластины q соотношением I=—dqldt
под <7 понимать заряд верхней пластины конденсатора, то выбранному на рис. 13.4 направлению тока соответствует выражение
/=—dqldt, (11)
так как при положительном значении тока 1 заряд верхней пластины убывает, т. е. dqldt<fi. Поскольку в любой момент времени напряжение на конденсаторе Uc=q/C равно напряжению на сопротивлении Ur=1R, то с помощью выражения (11) имеем
Ж—(12>
Соответствующее нашим начальным условиям решение этого уравнения имеет вид
9(0=<7«ехр(—th), т=RC, (13)
поскольку при /=0 заряд конденсатора равен q„.
Такой же экспоненциальный характер имеет и зависимость от времени тока в цепи при разряде конденсатора:
/(')=-1=-?“р(-4)=-тмр(-т)- <14>
Как видно из полученных решений, и процесс зарядки конденсатора, и процесс разрядки, строго говоря, продолжаются бесконечно долго. Но, как и во всех подобных процессах, временная зависимость которых описывается экспонентой с отрицательным показателем, основное изменение рассматриваемой величины (в данном случае — заряда конденсатора или тока в цепи) происходит за конечный промежуток времени, и лишь остающееся сравнительно
