Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
250
постоянный ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток
контуру, показанному на рис. 8.6: сторона Ъс параллельна, а стороны ab и ей перпендикулярны линиям индукций внутри катушки. Тогда вектор В будет иметь отличную от нуля проекцию на направление контура только на участке Ьс и циркуляция В по контуру равна В1, где I — длина
Рис. 8.5. Магнитное поле соленоида.
Рис. 8.6. Контур для применения теоремы о циркуляции.
участка Ьс. Подсчитаем теперь полный ток, пронизывающий выбранный контур. Обозначим число витков на едини* цу длины соленоида через п. Сквозь выбранный контур проходит nl витков, и полный ток равен Ini. Согласно теореме о циркуляции
В1 = |xjnl,
откуда '
B = [L0In. (8.6)
Формула (8.6) дает индукцию магнитного поля внутри длинного соленоида, по обмотке которого пропускается ток /. Вблизи краев соленоида поле уже не будет однородным. Легко показать, что индукция поля на оси соленоида на самом его конце равна половине значения индукции внутри соленоида. Если к концу соленоида приставить другой такой же соленоид, по которому в том же направлении протекает такой же ток, то рассматриваемая точка окажется
§ 8. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
251
внутри нового, составного соленоида, и индукция поля в ней будет определяться формулой (8.6). Но по принципу суперпозиции эта же индукция есть сумма индукций полей, существующих вблизи концов каждого соленоида. Поскольку соленоиды одинаковы, то одинаковы и создаваемые ими поля, и, следовательно, индукция магнитного поля в точке на оси на конце одного соленоида равна В =
= 72[л0 In.
Теперь вычислим индукцию магнитного поля внутри замкнутой тороидальной катушки (рис. 8.7).
В отличие от соленоида, линии магнитной индукции замыкаются здесь внутри самой катушки и представляют собой окружности, параллельные оси тора. Направление их таково, что, глядя вдоль них, мы видим токи в обмотке тороидальной катушки текущими по часовой стрелке. Вычислим циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль одной из таких линий. Из соображений симметрии очевидно, что величина вектора индукции В одинакова во всех точках, лежащих на одной линии индукции. Пусть радиус такой окружности равен г (/vOd/^). Тогда по теореме о циркуляции имеем
B-2nr = \x,0IN,
где N — полное число витков, а / — ток в обмотке тороидальной катушки. Отсюда
Но IN
? =
2п
(8.7)
Формула (8.7) показывает, что индукция магнитного поля в торе максимальна вблизи внутренней стороны и минимальна вблизи внешней стороны тора.
Выражение для индукции магнитного поля в длинном соленоиде (8.6) может быть получено как предельный случай формулы (8.7) для поля в тороидальной катушке при условии, что диаметр витков много меньше радиуса самого тора. В этом случае (г2—г^1г<^\, поле внутри тора
252
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток
практически однородно, а отношение N/2nr представляет собой число витков на единицу длины катушки.
В заключение этого параграфа вернемся к формуле
(8.3) для индукции магнитного поля прямолинейного
а)
5)
Рис.
1.8. Магнитное поле прямого тока, текущего по поверхности цилиндрического проводника (а) и по всему сечению (б).
бесконечного проводника с током. Для очень тонкого проводника, когда г стремится к нулю, индукция магнитного поля вблизи проводника неограниченно возрастает. Реально провод всегда имеет конечную толщину. С помощью теоремы о циркуляции индукции магнитного поля легко убедиться, что снаружи проводника индукция поля по-прежнему выражается формулой (8.3), а внутри проводника величина индукции зависит от распределения тока по сечению проводника. Если весь ток течет только по поверхности цилиндрического проводника, как это бывает в полой тонкостенной трубке или в сверхпроводниках, то магнитного поля внутри нет. Зависимость величины индукции от расстояния г до оси проводника имеет в этом случае вид, показанный на рис. 8.8, а. Если ток равномерно распределен по сечению проводника, то магнитное поле внутри проводника пропорционально расстоянию от его оси (рис.8.8, б). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим циркуляцию В по кру-
Рис. 8.9. К расчету магнитного поля внутри проводника.
0. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
253,
говому контуру радиуса г, лежащему внутри проводника в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис. 8.9). По соображениям симметрии величина индукции поля одинакова для всех точек, лежащих на такой окружности. Так как поле направлено по касательной к окружности, то по теореме о циркуляции имеем
В-2яг = |л0/', (8.8)
где /' есть ток, проходящий через заштрихованное на рисунке сечение внутри этой окружности. При равномерном распределении тока по сечению
2
поэтому согласно (8.8) индукция поля внутри проводника равна