Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
АВ-
Но 1М sin а 4л г* ’
(8.1)
где ц-о — магнитная постоянная, а а — угол между направлением на точку наблюдения и направлением элемента тока Д/ (рис. 8.1). Вектор АВ перпендикулярен к плоскости, содержащей элемент А/ и радиус-вектор г. Направление
§ 8. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА 247
АВ определяется правилом правого винта: оно совпадает с направлением вращения головки винта при его поступательном перемещении вдоль тока. Используя понятие векторного произведения, закон Био — Савара — Лапласа можно переписать в векторном виде:
= (8-2) Здесь вектор АI направлен вдоль провода в направлении движения положительных зарядов.
Формула (8.1) (или (8.2)) позволяет рассчитать индукцию магнитного поля, создаваемого произвольным распределением постоянных токов. Простейшим примером использования закона Био—
Савара — Лапласа служит вычисление магнитного поля в центре кругового тока. Пусть ток I идет по проводу в виде окружности радиуса R по часовой стрелке (рис. 8.2). Векторы А В от всех элементов кольцевого провода направлены перпендикулярно плоскости круга за плоскость рисунка. Поэтому суммарная индукция магнитного поля В направлена в ту же сторону, а ее величина равна просто сумме всех А В. Любой элемент кругового контура находится на одном и том же расстоянии r=R от центра круга, а его направление образует прямой угол а= =я/2 с направлением на точку наблюдения. Поэтому, суммируя элементарные индукции, с помощью формулы (8.1) получим
B=S4B = -g-^S4(.
Сумма длин всех элементарных участков 2 равна длине окружности 2лR, поэтому индукция магнитного поля в центре кругового тока равна
Рис. 8.2. К вычислению магнитного поля кругового тока.
Расчет магнитного поля, создаваемого токами других конфигураций, выполняется с помощью интегрирования.
348
ПОСТОЯННЫЙ электрический ток
В частности, индукция магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным проводником с током, убывает обратно пропорционально расстоянию г от провода:
Цо Г 2л г
(8.3)
Линии магнитной индукции в этом случае представляют собой концентрические окружности, плоскости которых
перпендикулярны току, а центры расположены на оси тока (рис. 8.3).
Магнитное поле может быть охарактеризовано некоторым общим соотношением, которое, как и теорема Гаусса в электростатике, может быть использовано для расчета магнитных полей, создаваемых симметричными распределениями токов. Это соотношение носит название теоремы
о циркуляции вектора магнитной индукции.
Рассмотрим произвольный замкнутый контур I и зададим на нем направление обхода. Обозначим через Bt проекцию вектора В на направление элемента контура Д/. Составим сумму произведений В,А/ для всех элементов замкнутого контура. Эта сумма ^Bt А1 называется циркуляцией вектора В по замкнутому контуру I. В силу закона Био—Савара — Лапласа циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению ц.0 на ток /, пронизывающий контур, по которому берется циркуляция.
Проверим справедливость этого утверждения для магнитного поля, создаваемого прямолинейным бесконечным проводником с током. Прежде всего отметим, что нужно рассматривать только контуры, лежащие в плоскости, перпендикулярной к проводнику, так как вектор В не имеет составляющих вдоль тока и, следовательно, циркуляция В по произвольному контуру совпадает с циркуля-
дукции прямолинейного провод ника с током.
$ 8. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА 249
цией по проекции контура на эту плоскость. Проще всего рассчитать циркуляцию В по круговому контуру с центром на проводнике. В этом случае вектор В в каждой точке контура параллелен элементу Д/ (если выбранное направление обхода совпадает с направлением силовых линий), а величина В, одинаковая во всех точках контура, дается формулой (8.3). Суммируя BtAl по всем элементам контура, получаем -
= |^2я R = liJ. (8.4)
Рис. 8.4. К теореме о цнр-Видно, ЧТО циркуляция В не зави- куляции вектора индукции сит от радиуса окружности. Нетруд- магнитного поля,
но убедиться в том, что при произвольной деформации окружности величина циркуляции В не изменится. Рассмотрим элемент Д/ произвольного контура I (рис. 8.4). Для него Bt А1=В ДI cos а; но Д/ cos а=г Дф, поэтому
В,4/=^.г4ф=^4ф.
Суммируя по всем элементам контура, получаем
? А, Д/=^?Д<р = ,!„/. (8.5)
Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля справедлива для поля, создаваемого произвольным распределением токов.
Применим теорему о циркуляции вектора индукции магнитного поля к расчету поля, создаваемого соленоидом, т. е. цилиндрической катушкой с плотно соприкасающимися витками. Магнитное поле такой катушки имеет вид, показанный на рис. 8.5. Если длина катушки много больше ее диаметра, то линии магнитной индукции внутри катушки параллельны ее оси и поле там однородно всюду, за исключением концов катушки. Снаружи вблизи боковой поверхности катушки поле практически отсутствует. Вычислим циркуляцию индукции В по прямоугольному
