Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Разместить все N молекул в одной* половине сосуда можно только одним способом. Поэтому вероятность того, что весь газ соберется в одной половине сосуда, равна (\!2)N. При больших N это очень малая величина. Например, для газа, содержащего всего 100 молекул, вероятность такого события равна 2-100«*10-30. В среднем только на одном из 10s® снимков мы бы увидели, что одна из половин сосуда пуста. Чтобы представить себе, насколько велико это число, вспомним, что, по преданию, изобретатель шахматной игры потребовал в награду «всего» 2м» 101' зерен пшеницы. Это оказалось больше, чем количество зерен, которое может уместиться в амбаре высотой 5 м и шириной -20 м, протянувшемся от Земли до Солнца. И это для газа, состоящего всего из ста молекул! А для одного моля газа, где число молекул составляет 6' 10м, вероятность всем молекулам оказаться в одной половине сосуда настолько мала, что просто невозможно найти для нее подходящее сравнение в мире образов, доступных человеческому воображению.
158 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Подсчитаем теперь вероятность того, что в определенной половине сосуда * находится заданное число п молекул. Эта вероятность равна отношению числа способов размещения, при которых в выбранной половине сосуда находятся любые п молекул, к 2N— полному числу возможных размещений.
Число таких размещений, очевидно, равно числу способов, которыми можно выбрать п молекул из совокупности N молекул, т. е. числу сочетаний из N по п. Это число сочетаний равно
Пп N\ 1Л \\
C« = 'ri(N-n)\'. *4Л)
Поэтому вероятность Рп того, что в какой-нибудь, например левой, половине сосуда находится п молекул, равна
P*=2*fn\(N-n)\ ‘ (4'2)
^Теперь с помощью (4.2) легко рассчитать, как часто на наших «фотографиях» будут встречаться те или иные распределения молекул. Для газа из ста молекул вероятность того, что молекулы распределятся между половинами сосуда строго поровну, приблизительно равна 1/18, т. е. такое распределение встречается в среднем 1 раз на каждые 18 снимков.
Итак, строго равномерное распределение молекул по объему встречается не так уж и часто. Но если мы подсчитаем вероятности таких распределений молекул, при которых в одной половине сосуда будет на две, четыре и вообще на небольшое число молекул больше, чем в другой, и просуммируем эти вероятности, то мы увидим, что вероятность появления любого из таких распределений будет близка к единице, а очень неравномерные распределения, при которых число молекул справа и слева различается сильно, будут встречаться крайне редко. Представление о характере распределения вероятностей (4.2) дает рис. 4.1, построенный для газа из N—20 молекул. По оси абсцисс отложецо число молекул в одной (например, левой) половине сосуда, а по оси ординат — вероятности соответствующих размещений молекул. Приведенное распределение вероятностей можно охарактеризовать плавной кривой — огибающей, которая показана пунктиром на рис, 4.1. С увеличением полного
5 4. ФЛУКТУАЦИИ
159
числа молекул газа эта кривая становится все более и более острой. Для N=100 она приведена на рис. 4.2.
- ' Теперь мы можем сделать следующий общий вывод: если полное число молекул в изучаемой системе велико,
H=Z0
-.-fid
О 5 10 15 п
Рис. 4.1. Вероятность того, что в сосуде, содержащем 20 молекул газа, п из них находятся в одной половине сосуда, а, остальные 20 — п
в другой.
то флуктуации плотности, соответствующие существенно неоднородному распределению, почти никогда не возникают. Описанные выше закономерности справедливы не только для флуктуаций плотности, но и для флуктуаций других макроскопических параметров. Если число частиц в системе очень велико, то относительная величина флуктуаций любого параметра очень мала по сравнению со средним значением этого параметра, и ею почти всегда можно пренебречь. Поэтому мы обычно не осознаем факта существования флуктуаций, когда имеем дело с большими макроскопическими системами. Но если система достаточно мала, то флуктуации могут быть легко обнаружены и часто имеют-большое значение.
’Как уже упоминалось, тепловые флуктуации ставят предел чувствительности любых измерительных приборов. При измерении малых значений физических величин или слабых сигналов флуктуации в чувствительном элементе изме-
Рис. 4.2. Та же вероятность для сосуда, содержащего 100 молекул газа.
160
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
рительного прибора могут оказаться сравнимыми с измеряемой величиной. Флуктуации, возникающие в самом измерительном приборе, затрудняют измерения й поэтому называются шумами.
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 5. Первый закон термодинамики. Тепловые двигатели
Любая изолированная макроскопическая система с течением времени приходит в состояние термодинамического равновесия, в котором, если отвлечься от флуктуаций, характеризующие ее макроскопические параметры не меняются. Процесс перехода системы из неравновесного состояния в состояние равновесия называется релаксацией. Длительность этого процесса характеризуется временем релаксации.
