Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Экспериментальное измерение скоростей молекул и проверка закона распределения Максвелла осуществляются различными методами, использующими молекулярные пучки. Один из первых таких опытов был проделан Штерном в 1920 году.
J 4. ФЛУКТУАЦИИ
155
Знание статистических функций распределения дает возможность вычислять средние значения микроскопических параметров. Например, с помощью функции распределения Больцмана можно найти положение центра масс
ловского распределения молекул газа по скоростям.
Рис. 3.6. Функции распределения молекул по скоростям при разных температурах.
газа в поле тяжести. С помощью функции распределения Максвелла вычисляются средние значения величин, зависящих от скорости молекулы. Если вычислить среднее значение квадрата скорости (у2), то мы получим уже приведенную ранее величину 3kTltn. Для среднего значения абсолютной величины скорости расчет с максвелловской функцией распределения дает <у> = VBkTlnm.
§ 4. Флуктуации
Тепловое равновесие — это всегда динамическое равновесие. Тепловое движение атомов или молекул, из которых состоит макроскопическая система, никогда не прекращается. Поэтому макроскопические величины, характеризующие систему в целом, строго говоря, никогда не остаются постоянными, а испытывают малые беспорядочные колебания вблизи некоторых средних значений. Такие хаотические отклонения от средних значений тех или иных величин, происходящие в течение малых промежутков времени, называются флуктуациями. Относительная величина флуктуаций тем больше, чем меньше размеры изучаемой системы.
Яркий пример флуктуаций — это дрожание зеркальца чувствительного гальванометра. Макроскопическая система,
156 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
состоящая из подвижной катушки гальванометра, подвешенной на упругой кварцевой нити, в состоянии механического равновесия была бы совершенно неподвижной, если бы не тепловое движение. Удары молекул -воздуха, совершающих тепловое движение, приводят к тому, что угол поворота зеркальца испытывает хаотические колебания вблизи положения механического равновесия. Фактически это то же броуновское движение, которое отличается от рассмотренного в § 1 движения взвешенной в жидкости частицы только тем, что Здесь рассматривается не поступательное, а вращательное движение вблизи устойчивого, а не безразличного положения равновесия. Интенсивность такого движения зависит от температуры, оно принципиально неустранимо и ставит предел чувствительности измерительной аппаратуры.
Основные закономерности флуктуаций можно подметить, рассматривая простейший пример пространственного распределения молекул идеального газа внутри сосуда в состоянии теплового равновесия. В среднем газ равномерно заполняет весь сосуд, т. е. концентрация молекул всюду одинакова. Разделим мысленно сосуд на две равные части. Пусть число молекул слева равно пи справа — пг. Сумма rti+rt2 есть полное число молекул в сосуде. В равновесии в среднем гах»=га2, но так как это равновесие динамическое, то в каждый момент времени вследствие хаотического движения это верно лишь приближенно, потому что молекулы непрерывно переходят из одной половины сосуда в другую. В принципе ничто не мешает им вообще в какой-то момент собраться в одной половине сосуда. Однако такое событие будет крайне маловероятным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, какими способами молекулы могут распределяться между половинами сосуда. Одну молекулу можно разместить в сосуде двумя способами — либо в левой, либо в правой его половине. Очевидно, что вероятность найти молекулу в какой-то одной половине сосуда равна 1/2, если, конечно, сосуд разделен на строго равные части. Две молекулы можно распределить в сосуде четырьмя (2а) способами, ибо для каждого из двух способов распределения одной молекулы существует два способа распределения другой. Для трех молекул число способов распределения равно восьми (28), так как для каждого из четырех возможных вариантов распределения первых
$ 4. ФЛУКТУАЦИИ
167
двух молекул есть две возможности распределения третьей молекулы, и т. д. В случае N молекул число способов распределения равно 2N.
Будем считать, что вероятность, нахождения любой наугад взятой молекулы в определенной половине сосуда не зависит от того, где в этот момент находятся все остальные молекулы. Это верно для идеального газа, молекулы которого не взаимодействуют между собой и имеют пренебрежимо малые размеры, так что их собственный объем значительно меньше объема сосуда. В этом случае каждый из 2N способов размещения N молекул в сосуде имеет одну и ту же вероятность, равную (1/2).^. Разъясним это подробнее. Молекулы газа находятся в тепловом движении, и их расположение в сосуде непрерывно изменяется. Предположим, что мы можем делать мгновенные «фотографии» положения молекул в сосуде. На каждой такой «фотографии» мы увидим один из мыслимых способов размещения молекул. Размещения на любых двух снимках считаются одинаковыми, если в какой-либо половине сосуда, например левой, на обоих снимках находятся одни и те же молекулы. Утверждение о равной вероятности всех 2N размещений означает, что какое-либо размещение будет встречаться на снимках не чаще и не реже других, в среднем один раз в каждой серии, содержащей 2N «фотографий».
