Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
152 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ванной, полоски на этом рисунке, равная f(vK)Avx, дает, как мы видели, среднее число молекул газа в единице объема, у которых проекция скорости vx лежит в указанном интервале Avx. Теперь легко сообразить, что полная площадь, ограниченная графиком функции f(vx) и осью vx,
f(Vx) i
fw --- '
О vxvx+dvx vx
Рис. 3.3. График функции распределения f(vx).
дает число молекул, у которых vx имеет любые значения от —оо до оо, т. е. дает полное число молекул в единице объема. Именно из этого условия, называемого условием нормировки функции распределения, и определяется постоянная а в формуле (3.10). Для ее нахождения нужно проинтегрировать функцию7 (vx) novx от —оо до оо и приравнять результат концентрации молекул п. Это дает следующее значение постоянной а:
УШя- ¦ <з-п>
Функции распределения' можно дать и несколько иную интерпретацию. Вместо того, чтобы говорить о том, сколько в среднем молекул в единице объема имеют значение vx в заданном интервале, можно говорить о том, какова вероятность того, что наугад "выбранная молекула имеет значение vx в этом интервале. Очевидно, что эта вероятность равна отношению среднего числа таких молекул к полному числу молекул в единице объема. Обозначая ее через q(vx)Avx, можем написать
Я (vx) ~ п f (vx) — |/ 2nkT еХР ( Iftr)’ (3-12)
f 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
153
Из-за полной хаотичности теплового движения в состоянии равновесия можно считать, что все направления равноправны. В противном случае в газе существовало бы некоторое преимущественное направление движения молекул и, следовательно, существовал бы направленный поток газа, чего нет в состоянии теплового равновесия. Поэтому, если выбрать любые три взаимно перпендикулярных направления х, у, 2, то функции распределения молекул по проекциям скорости на эти направления будут иметь один и тот же вид (3.12).
Можно поставить вопрос, какова вероятность того, что наугад выбранная молекула газа будет иметь значения трех проекций ее скорости vx, vvhvzb заданных интервалах: проекция на ось х в интервале от и* до vx+Avx, на ось у — от vv до vv-rAvv, на ось г — от vz до vz-\-Avz. Равноправие всех направлений позволяет считать, что вероятность иметь, например, vx в заданном интервале не зависит от того, каковы значения двух других проекций скорости молекулы. Это значит, что вероятность того, что все три проекции скорости лежат в заданных интервалах, равна произведению вероятностей для каждой из проекций в отдельности:
Я (у*. vy, vz) Avx Avy Av, = q(vx) Avx-q(vy) Avy-q(vz) Avz. Теперь с помощью (3.12) можем написать
Q{vx, vy, ^) = (^Sf)3/sexp[— 2?TW + ^ + yz) • (3-13)
В показателе экспоненты в (3.13) фактически стоит квадрат скорости молекулы, и показатель равен отношению ее кинетической энергии к kT. Таким образом, эта функция распределения зависит только от величины скорости, но ле от ее направления. Распределение по скоростям, как и следовало ожидать, оказывается равномерным по всем направлениям, т. е. изотропным в пространстве.
Теперь легко получить выражение для вероятности того, что наугад выбранная молекула имеет величину скорости в заданном интервале ото до у+Ау, независимо от того, как эта скорость направлена. Для этого нужно найти, чему соответствует произведение AvxAvvAvz для всех молекул, величина скорости которых лежит в заданном интервале от v до v+Av. Если построить систему координат vxr vy, vz (рис. 3.4), то легко видеть, что молекулам
154 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИЦ
с одинаковым значением величины скорости v соответствуют точки на поверхности сферы радиуса v с центром в начале координат. Молекулам со скоростями в интервале от v до и+Аи соответствует шаровой слой толщины Ли. Поэтому произведению AvxAvyAvz в рассматриваемом случае соответствует объем этого шарового слоя, равный произведению площади поверхности сферы на толщину слоя, т. е. 4пи2Аи. Выражение для вероятности того, что молекула имеет величину скорости в заданном интервале, равно произведению (3.13) на 4таМо:
q(v) АУ = 4п(5^ )3/аехр (3.14)
Если нас интересует среднее число молекул в единице объема с такими значениями величины скорости, то мы должны умножить (3.14) на концентрацию газа п\
f(v)Av = 4nn (-^-^адр (— щ) (3.15)
Зависимость функции f (и) от скорости показана на рис. 3.5. Эта функция имеет максимум при значении v = yr2kT/m ,
называемом наиболее вероятной скоростью. Площадь, ограниченная графиком функции и осью v, дает полное число молекул в единице объема п.
-*• При повышении температуры vy кривая распредедения молекул по скоростям деформируется так, как показано на рис. 3.6. Макси-
Рис. 3.4. Шаровой слой мум кривой смещается при увели-в пространстве скоростей, чении Т в область больших значений V. Максимальное • значение f(v) при этом убывает, так что площадь под кривой остается неизменной. Приведенные выше функции распределения молекул газа по скоростям были впервые получены Максвеллом и носят его имя.
