Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Условие равновесия выделенного слоя газа состоит в том, что действующая на него сила тяжести уравновешивается силами давления на верхнее и нижнее основания. В проекции на ось х (рис. 3.1) это условие записывается в виде
p{x)S — p(x-\- Ах) S — pgS Ах — 0.
Так как давление на высоте х+Ах можно записать в виде р(х+Ах)=*р(х) + Ар, то условие равновесия принимает вид
Ap^ — pgAx. (3.1)
Входящая в (3.1) плотность газа р зависит от давления. Выразим ее из уравнения Менделеева — Клапейрона для произвольной массы газа М:
pV=*&RT, (3.2)
где ц — молярная масса. С помощью (3.2) получаем
Р = ТГ =• (3.3)
Подставляем это выражение в (3.1) и переходим к пределу при Дх-й). Так как предел отношения Ар/Ах при Дл:->-0
есть производная dp/dx, то получаем следующее диффе-
ренциальное уравнение для функции р(х):
% — <3-4>
Это уравнение говорит о том, что производная искомой функции пропорциональна самой функции. Как известно из курса математики, единственной функцией, обладающей
150 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
таким свойством, является экспонента, и, .следовательно, решение такого уравнения при постоянных g и Т имеет вид
¦ р(х)= Сехр ( —
р{х) = р0ех р
V-gx
RT
(3-5)
Значение постоянной С определяется из условия, что давление на высоте х=0 равно заданной величине р0:
RT ) •
(3.6)
Формулу (3.6) можно переписать в несколько ином виде, учитывая, что молярная масса [х .равна произведению массы молекулы m на число Авогадро N а.
(3.7)
РШ
Ро
Соотношение (3.6) или (3.7) носит название барометрической
формулы. Выражаемая ею зависимость давления газа р от высоты х графически представлена на рис. 3.2. Отметим, что применимость барометрической формулы к реальной земной атмосфере весьма ограничена, так как атмосфера практически никогда не находится в состоянии теплового равновесия и ее температура меняется с высотой. Учитывая связь между давлением газа и концентрацией молекул (2.11), из (3.7) получаем распределение молекул по высоте во внешнем поле:
п(х) = п0 ехр ( — •
х
Рис. 3.2. Зависимость давления газа от высоты.
(3.8)
Легко заметить, что в числителе показателя экспоненты в (3.8) стоит потенциальная энергия молекулы, находящейся в поле тяжести на высоте х: Ea(x)=mgx, т. е. эту формулу можно переписать в виде
ехр •
(3.9)
$ 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
151
Этот полученный на конкретном примере результат имеет весьма общий характер. Формула (3.9) дает равновесное распределение молекул в пространстве в любом потенциальном поле и носит название распределения Больцмана.
Общая теория равновесных статистических распределений была создана Гиббсом. Он показал, что в состоянии теплового равновесия закон распределения молекул по любой характеризующей их состояние величине (координате, скорости, энергии) имеет экспоненциальный характер, причем в показателе экспоненты, как и в (3.9), стоит взятое со знаком минус отношение характерной энергии молекулы к величине kT, которая пропорциональна средней кинетической энергии хаотического движения молекул. В частности, для распределения молекул газа по проекции скорости на какое-либо направление в показателе экспоненты стоит отношение зависящей от этой проекции части энергии молекулы к kT:
Ду*) = аехр(— ^§^) = аехр ( — . (3.10)
Величина f (vх) называется функцией распределения молекул по проекции скорости на ось х. Произведение f(vx)Avx равно среднему числу молекул газа в единице объема, у которых проекция скорости на ось х лежит в интервале от vx до подобно тому как произведение п (х)
из формулы (3.9) на Ах дает среднее число молекул, х-коор-дината которых лежит м^жду х и х-\-Ах.
Остановимся подробнее на смысле функции распределения f{vx). Прежде всего подчеркнем, что бессмысленно задавать вопрос о том, сколько молекул имеют строго определенное значение vx, например ровно 500 м/с. Скорее всего, в данный момент во всем сосуде с газом не окажется ни одной молекулы с таким значением vx, так как число молекул газа хоть и очень велико, но все же конечно, в то время как допустимых значений у* бесконечно много. Поэтому имеет смысл говорить только о среднем числе молекул в единице объема, значение проекции- скорости которых на ось х лежит в интервале от vx до и*-(-Ду*, например от 500 до 501 м/с.
Наглядное представление о законе распределения молекул по проекции скорости дает график функции f(vx) (3.10), который приведен на рис. 3.3. Площадь заштрихо-
