Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
р = m^vl An(vx). (2.3)
Легко сообразить, что сумма в (2.3) связана со средним значением квадрата проекции скорости молекулы на ось х. В самом деле, среднее значение Ь\ по совокупности из п молекул определяется формулой
— ~ ^tvxi == (vxi +:уй + • • • + vxri)- (2.4)
J44 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ . ТЕОРИИ
Но в (2.3) фактически стоит та же самая сумма, только суммирование производится не по отдельным молекулам, а по группам молекул в единице объема, имеющих почти одинаковые значения vx. Поэтому (2.3) можно переписать в виде
p = mn<.v\>, ¦ (2.5)
где п есть полное число молекул в единице объема или концентрация. В силу равноправия всех направлений при
хаотическом тепловом движении (y|)=-g-(ya>, и, следовательно, формула (2.5) принимает вид
р«=-1-т/г<уг>. ' (2.6)
Это и есть основное уравнение кинетической теории идеального газа. Макроскопический параметр, характеризующий газ в целом,— давление р — выражен здесь через среднее значение микроскопического параметра — квадрата скорости отдельной молекулы.
Уравнение (2.6) можно переписать в несколько ином виде, если ввести среднюю кинетическую энергию хаотического движения молекулы газа <?> =--у <и2>:
р = ~п<Е>. (2.7)
Подумаем теперь о тех упрощениях, которые были сделаны при выводе уравнения (2.6).
Во-первых, может сложиться впечатление, что приведенный вывод уравнения (2.6) не учитывает столкновений молекул между собой. В самом деле, при подсчете числа ударов о площадку мы считали, что все молекулы из выделенной группы Со скоростями от vx до Avx, лежащие в слое толщиной vxAt, достигают стенки в течение промежутка времени At. Но на самом деле некоторые из них не долетят до стенки, так как в результате столкновений могут изменить направление скорости. Но кроме таких столкновений, в результате которых молекулы «уходят» из выделенной группы, в газе происходят столкновения, пополняющие эту группу молекул. В состоянии теплового равновесия, когда в газе отсутствуют макроскопические потоки, среднее число молекул в каждой группе не ме-
5 2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 145
няется со временем, несмотря на частые столкновения молекул. Поэтому столкновения не могут изменить среднего результата ударов молекул о стенки сосуда, выражаемого
(2.6). Второе из сделанных при выводе (2.6) предположений касалось характера взаимодействия молекулы со стенкой. Предполагалось, что удар о стенку абсолютно упругий. На самом деле это предположение также является несущественным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим газ в дд
прямоугольном сосуде (рис.
2.3), в котором стенки А и В.
обладают разными свойства- ---------------------------------
МИ. удар молекул газа О стенку Рис. 2.3. Стенки сосуда Л и Д
А абсолютно упругий, а О разные: удар молекул о стенку
стенку В — неупругий. Если Л абсолютно упругий, о стенку
бы давление газа на эти стен- в ~~ неУпРУгий-
ки было-различным, то в отсутствие трения о подставку сосуд с газом пришел бы в движение под действием внутренних сил. Так как сосуд в движение не приходит, мы должны заключить, что в состоянии теплового равновесия давление газа не зависит от характера взаимодействия его молекул со стенками. Объясняется это тем, что в стационарном состоянии молекулы Не накапливаются на стенках: сколько молекул прилипает к стенке при неупругом ударе, столько же от нее и улетает, причем в среднем с такой же скоростью, так как температура стенки и газа одинакова.
А вот предположение о том, что газ идеальный, т. е. его молекулы настолько малы, что их полный собственный объем мал по сравнению с объемом занимаемого газом сосуда, и что молекулы взаимодействуют только во время столкновений, оказывается существенным. Только для газа с такими свойствами и справедливо уравнение (2.6). Для реальных газов оно выполняется лишь приближенно.
Установленная на опыте связь между давлением, объемом и температурой газа приближенно описывается уравнением Менделеева — Клапейрона, которое для одного моля газа имеет вид
рУц =* RT. (2.8)
Это уравнение выполняется тем точнее, чем ближе газ по
146 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
своим свойствам к идеальному. Для идеального газа оно было бы точным.
Преобразуем уравнение (2.7) так, чтобы его было удобно сравнивать с (2.8). Умножим (2.7) на объем занимаемый одним молем газа. Так как число молекул в одном моле любого газа есть число Авогадро NA, то .nV^NА и
РУ„ = ^Ыа<Е>. (2.9)
Теперь сравнение уравнений (2.8) и (2.9) позволяет выразить среднюю кинетическую энергии хаотического теплового движения молекул (Е) через температуру газа Т:
<E>^^kT, = (2.10)
Отметим, что под (Е) понимается средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, ибо давление газа определяется передаваемым стенке импульсом, который зависит только от скорости поступательного движения молекул. Поэтому формула (2.10) для одноатомного газа дает среднюю величину полной энергии хаотического движения, а для многоатомных газов, где тепловое движение включает в себя также вращение молекул и колебания атомов в молекулах, она дает среднее значение только кинетической энергии поступательного движения.
