Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
66
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
тяжести при перемещении тела из точки 1 в точку 2 (8.4) равна разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках пути.
Потенциальную энергию можно ввести для любых сил, работа которых не зависит от способа изменения взаимного
ментарные участки Д/ так, чтобы силу F в пределах участка можно было считать постоянной. Работа на таком элементарном участке
Но ДI cos а есть проекция элементарного перемещения Д/ на направление радиус-вектора г, проведенного из силового центра: Д/cos а = Дг. Таким образом, работа на таком участке равна произведению силы на изменение расстояния до силового центра. Суммируя элементарные работы на всех участках, убеждаемся, что работа сил поля при перемещении из точки 1 в точку 2 равна работе при перемещении вдоль радиуса из точки 1 в точку 3. Таким образом, эта работа определяется только начальным и конечным расстояниями тела от силового центра и не зависит от формы пути. Потенциальная энергия тела в произвольной точке определяется как работа, совершаемая силами поля при перемещении тела из этой точки в определенную точку, потенциальная энергия в которой принята равной нулю. В более сложном случае, когда рассматривается несколько взаимодействующих тел, принимается, что потенциальная энергия взаимодействия равна нулю при каком-либо определенном взаимном расположении этих тел. Удобно (но не обязательно) в качестве этой конфигурации выбрать такое расположение, когда взаимодействующие тела удалены друг от друга на
Рис. 8.1. Потенциальный характер центрального поля.
расположения взаимодействующих тел. Поля таких сил носят название потенциальных. Покажем потенциальный характер центрального поля, в котором сила зависит только от расстояния до силового центра и направлена порадиу-су от него. Пусть тело перемещается из точки 1 в точку 2 по некоторой кр ивой (р ис. 8.1). Разобьем весь путь на эле-
ДА = F&1 = F Al cos а.
§ 8. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ 67
бесконечность. Потенциальная энергия системы во всякой иной конфигурации определяется как работа, совершаемая всеми силами взаимодействия при переходе системы из этой конфигурации в положение с нулевой потенциальной энергией.
Из самого определения ясно, что потенциальная энергия является функцией координат взаимодействующих тел. Нахождение вида этой функции состоит в вычислении работы, совершаемой силами взаимодействия при перемещении тел. Приведем выражения для потенциальной энергии в некоторых важных случаях.
Потенциальная энергия тяготения точечных масс и т2 или тел со сферически симметричным распределением масс, находящихся на расстоянии г друг от друга, определяется выражением
Еп = -у^. (8.5)
Вдесь потенциальная энергия принята равной нулю при бесконечно большом расстоянии между телами. Для потенциальной энергии тела массы т в поле тяготения Земли удобно видоизменить формулу (8.5) с учетом соотношения (5.7) и выразить потенциальную энергию через ускорение свободного падения g у поверхности Земли и радиус Земли R:
Еп = — mgy-. (8.6)
Если высота тела над поверхностью Земли h мала по сравнению с радиусом Земли (r=R-\-h, h<giR), то формулу
(8.6) можно упростить, воспользовавшись тем, что 1/(1+х)« «1—х (прй х<§;1):
Первое слагаемое в правой части (8.7) можно опустить, так как оно постоянно, т. е. не зависит от положения тела. Тогда мы получаем
Е„ = nigh,
что, в отличие от (8.6), соответствует выбору начала отсчета потенциальной энергии на поверхности Земли.
63
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия двух точечных зарядов^ и q2 на расстоянии г друг от друга дается выражением, аналогичным (8.5):
Различие знаков в формулах (8.5) и (8.8) вызвано тем, что гравитационное взаимодействие всегда имеет характер притяжения, в то время как при электростатическом взаимодействии заряды одного знака отталкиваются. В случае сил притяжения потенциальная энергия возрастает при увеличении расстояния между телами, а в случае отталкивания — убывает. Обобщение формулы (8.8) на случай системы взаимодействующих зарядов будет проведено в § 4 раздела 3. При упругой деформации, описываемой законом Гука, потенциальная энергия деформированного тела пропорциональна квадрату величины деформации. Например, энергия растянутого стержня, для которого закон Гука записывается в виде (6.9), равна
En = ±k(Al)>. (8.9)
Установим соотношение между силой и изменением потенциальной энергии. Рассмотрим перемещение тела А1 между двумя близкими точками. Работа сил поля при этом перемещении равна F А1. С другой стороны, эта работа равна разности потенциальных энергий тела в начальной и конечной точках, т. е. взятому с обратным знаком изменению потенциальной энергии. Поэтому
F А1 = — АЕп.
Левую часть этого соотношения можно записать в виде произведения проекции силы Ft на направление перемещения А1 на величину этого перемещения A/: F Al=FtAl. Отсюда
