Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Закон сохранения импульса замкнутой системы позволяет легко объяснить принцип реактивного движения. При сгорании топлива повышается температура и создается высокое давление, благодаря чему продукты сгорания с большой скоростью вырываются из сонла двигателя ракеты- В отсутствие внешних полей полный импульс ракеты и вылетающих из сопла газов остается неизменным. Поэтому при истечении газов ракета приобретает скорость в противоположном направлении.
Получим уравнение, описывающее движение ракеты. Пусть в некоторый момент времени ракета в какой-то инерциальной системе отсчета имеет скорость г». Введем другую инерциальную систему отсчета, в которой в данный момент времени ракета неподвижна.' Если двигатель ракеты работает и за промежуток времени At выбрасывает газы массой Атг со скоростью г>отн относительно ракеты, то спустя At
§ 7. ИМПУЛЬС. ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС
61
скорость ракеты в этой системе будет отлична от нуля и равна Д®. Применим к рассматриваемой системе ракета плюс газы закон сохранения импульса. В начальный момент ракета и газы покоятся в выбранной системе, поэтому полный импульс равен нулю. Спустя Дt импульс ракеты равен т До, а импульс выброшенных газов ДтТ ©оти, поэтому
m Д© +Д/пг©отн = 0. (7.10)
Полная масса системы сохраняется, поэтому масса выброшенных газов равна убыли массы ракеты:
Дтг + Дт = 0.
Теперь уравнение (7.10) после деления на промежуток времени Дt переписывается в виде
д® д т
т дГ = ®0TH ~Kt •
Переходя к пределу при Д^-vO, получаем уравнение движения тела переменной массы в отсутствие внешних сил:
dv dm ,п , ,.
т ж ~ ®отн dT • (7.11)
Уравнение (7.11) имеет вид второго закона Ньютона. Однако масса ракеты т здесь не постоянна, а убывает со вре-
менем из-за потери вещества, поэтому dm/dt<СО. Правую часть этого уравнения можно рассматривать как реактивную силу, т. е. силу, с которой действуют на ракету вылетающие из нее газы.
Уравнение (7.11) получено в определенной инерциальной системе отсчета, но, разумеется, вследствие принципа относительности оно справедливо и в любой другой инерциальной системе отсчета.
Если кроме реактивной силы на ракету действуют и другие внешние силы, то их следует добавить в правую часть уравнения (7.11). Это уравнение впервые было получено Мещерским и носит его имя.
Пусть ракета находится в свободном пространстве, где на нее не действуют внешние силы. После включения двигателя ракета набирает скорость, двигаясь по прямой линии. Спроектировав векторное уравнение (7.11) на направление
62
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
движения ракеты, получим
dv dtn 10ч
т Tt ~ ~~ и°тн Id ' (7-12).
По мере работы двигателя масса ракеты уменьшается. Будем в уравнении (7.12) рассматривать массу ракеты как функцию набранной ракетой скорости. Тогда скорость изменения массы можно представить следующим образом:
dm___dm dv
di~~dvTt‘ ( '
Подставляя (7.13) в уравнение (7Л2), получим dm 1
dv v.
отн
т. (7.14)
Предположим, что скорость истечения газов иотн неизменна, чтй довольно точно соблюдается в современных ракетах. В этом случае уравнение (7.14) позволяет легко найти массу ракеты как функцию скорости. В самом деле, согласно
(7.14) производная искомой функции dm/dv пропорциональна самой функции т. Из курса математики известно, что таким свойством обладает только экспоненциальная функция. Поэтому решение уравнения (7.14) при пдстоянной скорости истечения иотн имеет вид
т = Сехр (— . (7.15)
ОТН
Значение постоянной С определяется из начального условия: при и=0 масса ракеты равна начальной массе т„. Из
(7.15) при и=0 получаем С=т0. Таким образом, масса ракеты т в тот момент, когда ее скорость равна v, дается формулой
m = m0ex р(—~(7.16)
\ 1отн/
которая называется формулой Циолковского.
Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, который необходим для сообщения ракете определенной конечной скорости v. Согласно (7.16) отношение начальной массы ракеты т0 к ее конечной массе т равно ехр (г.’/иотн) и будет тем меньше, чем больше скорость истечения газов иот„. В современных ракетах на хими-
§ 8. ЗАКОН СОХРАНЁНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ 63
ческом топливе скорость газовой струи составляет 3— 4,5 км/с. Допустим, что ракете необходимо сообщить первую космическую скорость, т. е. такую скорость, при которой она может стать спутником Земли. Эта скорость приблизительно равна 8 км/с. При скорости истечения иотн = - 2 км/с формула Циолковского дает mjm=54,6, т. е. практически вся начальная масса ракеты приходится на топливо. При Иот „=4 км/с отношение т01т составляет 7,4, но и в этом случае запас топлива т0—т должен превосходить массу космического корабля т в несколько раз.
