Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
К закону сохранения импульса системы взаимодействующих частиц легко прийти непосредственно из второго и третьего законов Ньютона. Силы, действующие на каждую IM п входящих в систему частиц, разобьем на две группы: внешние и внутренние. Внутренняя сила Fih— это сила, с которой k-я частица действует на i-ю. Внешняя сила Fi — это сила, с которой действуют на t-ю частицу все тела, не входящие в состав рассматриваемой системы.
Закон изменения импульса р( i-й частицы имеет вид
Полным импульсом системы частиц Р называется векторная сумма импульсов отдельных частиц в один и тот же момент времени:
/=1,2, 3;
/г. (7.1)
p=21pi-
(7.2)
Сложим почленно уравнения (7.1) для всех частиц. Тогда в левой части, как видно из (7.2), получим скорость изменения полного импульса системы dPldi. Поскольку внутрен-
58
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
ние силы взаимодействия между частицами Fih удовлетворяют третьему закону Ньютона
Fik = —
то при сложении в правой части, где внутренние силы будут встречаться парами, их сумма обратится в нуль. В результате получим
§ = I.F, (7.3)
i
Скорость изменения полного импульса системы определяется суммой внешних сил, действующих на все частицы. Обратим внимание на то, что равенство (7.3) имеет такой же вид, как и закон изменения импульса одной материальной точки, причем в правую часть входят только внешние силы. В замкнутой системе, где внешние силы отсутствуют, полный импульс Р системы не меняется, независимо от того, какие внутренние силы действуют между частицами.
Полный импульс не меняется и в том случае, когда действующие на систему внешние силы уравновешены. Может оказаться, -что внешние силы уравновешены только вдоль какого-то направления. Хотя система в этом случае и не является замкнутой, составляющая • полного импульса вдоль этого направления, как видно из формулы (7.3), остается неизменной.
Уравнение (7.3) характеризует систему в целом, но по-прежнему относится к определенному моменту времени. Нетрудно видоизменить это соотношение таким образом, чтобы получить закон изменения импульса, системы за некоторый промежуток времени. Пусть действующие на входящие , в систему частицы внешние силы неизменны в течение' промежутка времени ДU Тогда (7.3) можно переписать в виде
Д P-^FiM. (7.4)
i
Величина FtAt носит название импульса силы Ft. Измене--ние импульса системы равно суммарному импульсу внешних сил.
Соотношение (7.4) позволяет определить изменение импульса системы за конечный промежуток времени, если внешние силы постоянны. Если-же внешние силыизменя-
§ 7. ИМПУЛЬС. ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС
59
ются, то можно разбить.промежуток времени ыа такие малые части, чтобы силы в пределах каждой части можно было считать постоянными, к каждой такой части применить (7.4) и просуммировать по всему промежутку времени.
Закон изменения импульса системы (7.3) по существу представляет собой закон движения центра масс (или центра инерции) системы, определяемого следующим образом: центр масс — это точка, радиус-вектор которой гс дается выражением:
где t"i — радиус-вектор частицы с массой тг. Скорость центра масс vc=drc/dt согласно (7.5) равна
В числителе правой части этого выражения стоит полный импульс системы Р, а в знаменателе — полная масса М. Поэтому импульс системы частиц равен произведению массы системы на скорость ее центра масс:
т. е. скорость изменения импульса системы равна произведению ее массы на ускорение центра масс. Сравнивая
(7.8) с (7.3), видим, что
Согласно (7.9) центр масс системы движется так, как двигалась бы материальная точка массы М под действием силы, равной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы. В частности, центр масс замкнутой
2 m'r<
(7.5)
2 m‘v‘
i
(7.6)
*
Р = 2 tnPi = Mvc-
(7.7)
Отсюда
(7.8)
(7-9)
60
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
системы движется равномерно и прямолинейно или покоится.
Внутренние силы, действующие в рассматриваемой системе, не входят в уравнение (7.9), определяющее ускорение центра масс. Значит ли это, что внутренние силы вообще никак не влияют на движение центра масс? В отсутствие внешних сил это действительно так. Если же внешние силы действуют, то дело может обстоять несколько сложнее. Внешние силы действуют не на центр масс, а на отдельные частицы системы. Внешние силы могут зависеть от поло-" жения частиц, а положение каждой частицы при ее движении определяется всеми действующими на нее силами, как внешними, так и внутренними. Поясним это на следующем простом примере. Пусть заряженная частица движется в однородном электрическом поле плоского конденсатора. Представьте себе, что в некоторый момент частица «взрывается» под действием каких-то внутренних сил. Если при этом все осколки останутся внутри конденсатора, то останется без изменения полная внешняя сила и, следовательно, ускорение центра масс после взрыва останется таким же, как и до взрыва. Если же хоть один заряженный осколок окажется за пределами конденсатора, где внешнее электрическое поле отсутствует, то полная сила изменится и, следовательно, изменится ускорение центра масс всех осколков. Итак, действие внутренних сил в момент_взрыва может привести к изменению ускорения центра масс.
