Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь мы имеем совокупность очень большого числа атомов, которые образуют настолько сильно разреженный газ, что взаимодействием между атомами можно пренебречь. Каждый атом может находиться в различных квантовых состояниях, которым соответствует дискретный ряд уровней энергии. Будем для простоты считать, что атом может находиться только в двух состояниях: основном с энергией Ег и возбужденном с энергией Е2. Если какой-нибудь атом в момент времени t находится в возбужденном состоянии, то в следующий интервал времени At он может либо остаться в этом состоянии, либо .перейти скачком в основное состояние, испустив фотон с энергией ?2—Е\. Обозначим вероятность спонтанного перехода атома в
§8. КВАНТОВЫЕ УСИЛИТЕЛИ И ГЕНЕРАТОРЫ СВЕТА 569
единицу времени из возбужденного состояния в основное через Л at.
Пусть в момент времени t в возбужденном состоянии находятся N2 атомов. Так как атомы не взаимодействуют между собой, то переход в основное состояние они совершают независимо друг от друга. Поэтому число испущенных за промежуток времени At фотонов Ап пропорционально Nt:
An=N 2A21At. (8.1)
Если при этом никаких процессов возбуждения атомов не происходит, то изменение числа возбужденных атомов ANU согласно (8.1), равно
ДЛГ2=—NzAnAt. (8.2)
Вероятность спонтанного перехода в единицу времени A 2i не зависит от времени. Поэтому решение уравнения (8.2) Л^(0=—Nt(t)Atl имеет вид
N,(t) = N20e-^‘; (8.3)
где NM — некоторая постоянная. Полагая в (8.3) ^=0, видим, что 2о равно числу возбужденных атомов при t=0.
Таким образом, в отсутствие внешних воздействий, число возбужденных атомов убывает со временем по экспоненциальному закону. Промежуток времени т, в течение которого число возбужденных атомов в результате спонтанного излучения уменьшается в е раз,— это есть среднее время жизни атома в возбужденном состоянии. Как видно из формулы (8.3), v
Вероятность спонтанного излучения обратно пропорциональна' времени жизни т. Как следует из формулы (6.7), эта вероятность пропорциональна кубу частоты излучения.
Независимый, случайный характер процессов спонтанного излучения атомов проявляется в том, что различные атомы излучают неодновременно и независимо. Поэтому фазы, направления распространения и состояния.поляризации разных цугов волн не согласованы друг с другом.
570
АТОМ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Это приводит к очень важному следствию: спонтанное излучение некогерентно.
В присутствии электромагнитного поля, кроме спонтанного излучения, будут происходить и процессы возбуждения атомов, т. е. переходы из основного состояния в возбужденное с поглощением фотонов с энергией %а>= =Е—Е 1.Очевидно, что вероятность такого перехода пропорциональна объемной плотности энергии электромагнитного поля w(a) на частоте перехода и некоторому коэффициенту В12, характеризующему вероятность возбуждения данного атома. Полное число переходов Ап из основного состояния в возбужденное за промежуток времени At пропорционально числу атомов в основном состоянии Nь
An=N1B12w(&)At. (8.5)
Если атомы находятся в термодинамическом равновесии с электромагнитным полем, то число переходов с поглощением фотонов и с их испусканием должно быть одинаково. Основываясь на этом, можно, приравнивая (8.1) и (8.5), найти вид функции ш(со), т. е. спектральное распределение энергии равновесного излучения. Однако получающийся при этом результат не согласуется с экспериментом и с формулой Планка. Эйнштейн впервые показал, что для получения согласующегося с опытом результата необходимо предположить, что электромагнитное поле вызывает не только переходы атомов из основного состояния в возбужденное, но и переходы из возбужденного состояния в основное с излучением фотонов. Такие переходы, в отличие от спонтанных, получили название индуцированного или вынужденного излучения. Число вынужденных переходов за время At пропорционально плотности энергии электромагнитного поля на частоте перехода, числу атомов в возбужденном состоянии и некоторому коэффициенту В21, характеризующему вероятность такого перехода в атоме. С учетом спонтанного излучения полное число переходов за время At из возбужденного состояния в основное равно
An=[N2A21+N2B21w(ca)]At. (8.6)
В состоянии термодинамического равновесия следует приравнять правые части в выражениях (8.5) и (8,6) и учесть, что отношение числа атомов в возбужденном состоянии к
5 8- КВАНТОВЫЕ УСИЛИТЕЛИ И ГЕНЕРАТОРЫ СВЕТА 571
числу атомов в основном состоянии, в соответствии с равновесным статистическим распределением Гиббса (§ 3 раздела «Молекулярная физика», стр. 147), равно
— = ехр = ехр . (8.7)
Легко убедиться в том, что вероятности В12 и В21 для атома данного сорта равны друг другу. Действительно, при-очень высокой температуре, когда кт^па, плотность энергии w, пропорциональная четвертой степени температуры, становится настолько большой, что в формуле (8.6) можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым. Это означает, что в равновесии при высокой температуре вынужденное излучение преобладает над спонтанным. Приравнивая для этих условий правые части (8.5) и (8.6), имеем