Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Представление о фотонном газе позволяет очень просто найти зависимость плотности энергии равновесного излучения w от абсолютной температуры Т. Это можно сделать, воспользовавшись соображениями размерности. Энергию
566
АТОМ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
единицы объема излучения можно представить в виде произведения среднего числа фотонов в единице объема п, равномерно заполняющих полость, на среднюю энергию одного фотона (Е):
w=n(E). (7.1)
Величины, от которых может зависеть средняя энергия фотона и число фотонов в единице объема равновесного излучения,— это абсолютная температура Т, постоянная Больцмана k, скорость света с и постоянная Планка %. Поскольку равновесное излучение в полости не зависит ни от размеров и формы полости, ни от природы тел, находящихся в полости, и вещества ее стенок, то такие параметры, как размеры тел и полости, и такие константы, как заряды и массы электронов и ядер, не могут фигурировать в выражениях для п и (Е).
Средняя энергия фотона теплового излучения по порядку величины равна kT: (E)xkT. Разм&рность числа фотонов в единице объема п есть L~3. Из величинТ, k, си ft можно составить единственную комбинацию, имеющую размерность длины: это c%lkT. Поэтому концентрация фотонов п пропорциональна величине (kTlfic)s. Подставляя это выражение в (7.1), можем написать
¦и-C^rs (7.2)
где Ci — некоторый безразмерный множитель.
Формула (7.2) показывает, что объемная плотность энергии равновесного излучения пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры в полости. Такой быстрый рост плотности энергии с температурой обусловлен не столько ростом средней энергии фотонов .(которая пропорциональна Т), сколько увеличением числа фотонов в полости, которое пропорционально кубу температуры.
Если в стенке полости имеется небольшое отверстие, то поток энергии излучения / через единицу площади отверстия пропорционален' произведению плотности энергии в полости на скорость света с:
и-3)
где а носит название постоянной Стефана — Больцмана. Точный расчет, основанный на применении статистиче-
g 7. ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА НАГРЕТЫМИ ТЕЛАМИ
В67
ской механики к фотонному газу, дает для нее значение, равное
Таким образом, полная интенсивность излучения из отверстия пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры в полости.
Излучение с поверхности нагретых тел отличается от излучения из отверстия в стенке полости. Интенсивность и спектральный состав этого излучения зависят не только
Рис. 7.1. К оценке средней температуры земной поверхности.
от температуры, но и от свойств излучающего тела. Но во многих случаях при оценках можно считать, что эти отличия невелики.
В качестве примера применения закона теплового излучения (7.3) рассмотрим вопрос о средней температуре земной поверхности.* Будем считать, что тепловой баланс Земли определяется главным образом поглощением энергии солнечного излучения и излучением энергии в пространство, а роль процессов, идущих внутри Земли, невелика. Полный поток энергии, излучаемой Солнцем, в соответствии с (7.3) равен aTc-^nRc, где Тс — температура поверхности Солнца, а Rc — его радиус. Будем считать, что вся энергия солнечного излучения, падающая на Землю, поглощается. С помощью рис. 7.1 легко сообразить,, что количество поглощаемой Землей в единицу времени энергии равно
г
(7.4)
Такое же количество энергии Земля должна излучать, иначе ее температура не будет оставаться постоянной. Но излучаемая с поверхности Земли энергия также находится
568
АТОМ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
с помощью формулы (7.3), в которую в этом случае следует подставить температуру земной поверхности 7Y Приравнивая поток излучаемой Землей энергии сгГ4-4я#? поглощаемой ею энергии (7.4), найдем
Т=ТС.± (7.5)
Из этого выражения видно, что для определения Т необходимо знать только температуру поверхности Солнца и угловой диаметр Солнца 2Rc/r, видимый с Земли. Этот диаметр равен 0,01 радиана, а температура поверхности Солнца составляет примерно 6000 К. По формуле (7.5) находим Т^ЗОО К.
В заключение отметим, что спектр излучения нагретых тел является настолько широким, что коэффициент полезного действия ¦’амп накаливания и других осветительных приборов, основанных на излучении раскаленных тел, совершенно ничтожен. Область видимого света соответствует лишь узкой полосе в спектре теплового излучения.
§ 8. Вынужденное излучение. Квантовые усилители и генераторы света
Спонтанное излучение возбужденного атома с точки зрения квантовой теории происходит скачком. Предсказать момент испускания атомом фотона невозможно, можно говорить только о среднем времени жизни атома в возбужденном состоянии т.
