Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 13. Примеры релятивистского движения частиц
Прежде всего получим формулу, связывающую энергию и импульс релятивистских частиц. Напомним релятивистские формулы для энергии и импульса частиц (12.9) и (12.2):
т
У 1 —у2/с2 m0v
(13.1)
(13.2)
. У 1 —и2/са ‘ -
Сравнивая (13.1) и (13.2), получаем простую формулу, связывающую энергию, импульс и скорость частицы:
(13-3)
Возводим обе части (13.1) в квадрат и записываем в виде ?»-?¦-? = /пЗс*.
Заменяя, согласно (13.3), во втором слагаемом в левой части ?2и2 на р2с4, находим
Е*—р'с2 = т?с4. ' (13.4)
Полученное соотношение (13.4), связывающее энергию и импульс частицы, является одной из важнейших формул релятивистской физики. Обратим внимание на то, что в правой части этой формулы стоит величина, не зависящая от выбора системы отсчета. Поэтому, хотя каждое из слагаемых в левой части имеет разное значение в различных
508
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
инерциальных системах отсчета, вся левая часть не зависит от выбора системы отсчета, т. е. представляет собой релятивистский инвариант.
В качестве первого примера рассмотрим движение первоначально покоившейся частицы с зарядом q и массой покоя т0 в однородном электрическом поле напряженности Е. Действующая на частицу сила F постоянна и равна q?. Поэтому из закона изменения импульса Ap=FAi немедленно следует, что
p^Ft. (13.5)
Подставляя это выражение для импульса частицы в формулу (13.4), получим
E2^(Ft)2c2+mlc*. (13.6)
Теперь с помощью (13.3) находим скорость частицы v спустя промежуток времени t после начала движения:
г>=-----—М=. (13.7)
т0 V1 + (Ft/m0c)а
Если Ft/m0c<^\, т. е. электрическое поле слабое или мало время движения, то в подкоренном выражении в (13.7)
можно пренебречь вторым слагаемым, и для скорости получается обычное нерелятивистское выражение:
v
t.
Рис. 13.1. Скорость частицы при движении в однородном электрическом поле.
Если Ft/m0c^>\, то под корнем в (13.7) можно пренебречь единицей по сравнению со вторым слагаемым. Видно, что при этом величина скорости v стремится к с. На рис. 13.1 показана зависимость скорости v от времени.
Перейдем к рассмотрению движения заряженной частицы в однородном магнитном поле. Поскольку действующая на частицу со стороны магнитного поля сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы, то скорость не меняется по величине и, следовательно, не меняется и масса частицы т..'Поэтому закон' изменения' импульса частицы
§13. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ДВИЖЕНИЯ 509
запишется в виде
dv „
m-jf = qvxB.
(13.8)
Если скорость © перпендикулярна вектору индукции магнитного поля В, то частица движется по окружности и величина ее ускорения равна v2/R, где R — радиус окружности. В этом случае уравнение (13.8) дает i
Для угловой скорости вращения юс, связанной с линейной скоростью v обычным соотношением v=wcR, с помощью
(13.9) находим
Выражение (13.10) имеет точно такой же вид, как и нерелятивистская формула для угловой скорости вращения в магнитном поле, только в знаменателе стоит релятивистская масса частицы т, связанная с ее массой покоя т0 соотношением т = mJV 1 —v2/c2.
В качестве третьего примера рассмотрим ускоритель заряженных частиц на встречных пучках. Выясним, в чем преимущество таких ускорителей по сравнению с обычными ускорителями с неподвижной мишенью, и установим соответствие между кинетической энергией частицы Ек в обычном ускорителе и эквивалентной энергией Е* в ускорителе со встречными пучками.
Одной из важнейших характеристик ускорителя является та доля кинетической энергии разогнанных элементарных частиц, которая может быть использована для реакции образования новых частиц, В обычных ускорителях, когда частица-мишень неподвижна, требование сохранения импульса исключает возможность превращения всей кинетической энергии частицы-снаряда в энергетический эквивалент ма'ссы покоя новых частиц, образующихся при столкновении. Поскольку до столкновения суммарный импульс снаряда и мишени отличен от нуля, то такой же суммарный импульс должен быть и после столкновения. Поэтому образовавшиеся в результате столкновения частицы не могут находиться в покое и, следовательно, часть
V2 „
т-щ- — qvB.
(13.9)
(13.10)
610
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
начальной кинетической энергии снаряда переходит в кинетическую энергию частиц после столкновения.
Однако если сталкивающиеся частицы с равными массами летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, то в результате неупругого удара вся кинетическая энергия налетающих частиц может быть использована для рождения новых частиц: поскольку начальный импульс