Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Д p = F At.
т2 (1—v2/c2)=т%.
т2с2 — (mv)2 = т\с2.
(12.4)
(12.5)
602
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Правые части в выражениях (12.5) и (12.3) совпадают. Поэтому левая часть (12.5) есть приращение кинетической энергии частицы:
А?к=А(тс2). (12.6)
Мы получили, что приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее релятивистской массы. Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя, то из (12.6) находим
Ек = тсг—т0с2 = т0сг(^у=щ —J). (12.7)
Формула (12.7)“ дает выражение для релятивистской кинетической энергии частицы. Если скорость частицы мала по
сравнению со скоростью света, формула (12.7) переходит в обычное выражение ?к=т0и*/2 для кинетической энергии частицы в нерелятивистской физике. Различие между классическим и релятивистским выражениями для кинетической энергии становится особенно существенным, когда скорость частицы приближается к скорости света. При v-+c релятивистская кинетическая энергия (12.7) неограниченно возрастает: частица, обладающая конечной массой покоя т0 и движущаяся со скоростью света, должна была бы иметь бесконечную кинетическую энергию. Зависимость кинетической энергии от скорости частицы показана на рис. 12.2.
Но вернемся к формуле (12.6), согласно которой приращение кинетической энергии тела сопровождается пропорциональным приращением его релятивистской массы. Вспомним, что важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах — именно в этом заключается содержание закона сохранения и превращения энергии. Поэтому естественно ожидать, что возрастание релятивистской массы тела будет
Рис. 12.2. Зависимость кинетической энергии тела от скорости.
§12. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ
503
происходить не только при сообщении ему кинетической энергии, но при любом увеличении энергии тела, .независимо от конкретного вида энергии. Отсюда можно сделать фундаментальное заключение о том, что полная энергия
Рис. 12.3. Неупругое столкновение, наблюдаемое в- разных системах
отсчета.
тела пропорциональна его релятивистской массе независимо от того, из каких конкретных видов энергии она состоит.
Поясним сказанное на следующем простом примере. Рассмотрим неупругое столкновение двух одинаковых тел, Движущихся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, так что в результате столкновения образуется одно тело, которое покоится (рис. 12.3, а). Пусть величина скорости каждого из тел до столкновения равна V, а масса покоя т0. Массу покоя образовавшегося тела обозначим через М0- Теперь рассмотрим это же столкновение с точки зрения наблюдателя в другой системе отсчета К', движущейся относительно исходной системы К налево (рис. 12.3, б) с малой (нерелятивистской) скоростью —и. Так как ы«Сс, то для преобразования скорости при переходе от К к К' можно использовать классический закон сложения скоростей. Закон сохранения импульса требует, чтобы полный импульс тел до столкновения был равен импульсу образовавшегося тела. До столкновения полный импульс системы равен ж2ти, где m — mJY 1—u2/c2— реляти-
До столкновения а)
Да столкнЬВения
S)
504
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
вистская масса сталкивающихся тел, после столкновения л^М0и, ибо вследствие н<Сс массу образовавшегося тела и в К' можно считать равной массе покоя. Таким образом, из закона сохранения импульса следует,, что масса покоя образовавшегося в результате неупругог-о соударения тела равна сумме релятивистских масс сталкивающихся частиц, т. е. она больше, чем сумма масс покоя исходных частиц:
М, = 2т = — -п-°-....> 9.т (12.8)
0 У1— и2/с2 0 v
Рассмотренный пример неупругого соударения двух тел, при котором происходит превращение кинетической энергии во внутреннюю энергию (в тепло), показывает, что увеличение внутренней энергии тела также сопровождается пропорциональным увеличением массы. Этот вывод должен быть распространен на все виды энергии: нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, сжатая пружина имеет большую массу, чем несжатая, и т. п. Обобщение соотношения (12.6) на все виды энергии приводит нас к знаменитой формуле Эйнштейна:
Е = тпг = — т°с\ .. .. (12.9)
Из (12.9) следует, что покоящееся тело обладает энергией Е0=т0сг. Эту энергию называют энергией покоя.
Закон пропорциональности массы и энергии является одним из самых значительных выводов теории относительности. Взаимосвязь массы и энергии заслуживает подробного обсуждения.
В механике масса тела есть физическая величина, являющаяся количественной характеристикой его инертных свойств, т. е. мера инертности. Это инертная масса. С другой стороны, масса характеризует способность тела создавать поле тяготения и испытывать силу в поле тяготения. Это тяготеющая, или гравитационная,- масса. Инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные проявления свойств материи. Однако то, что меры этих различных проявлений обозначаются одним и тем же словом, не случайно, а обусловлено тем, что оба свойства всегда существуют совместно и всегда друг другу пропорциональны, так что при надлежащем выборе единиц меры этих свойств можно выражать
