Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ply + Ргу = Ply + Piy> где pi и ра — импульсы частиц после столкновения, Так
§12. релятивистский ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ
499
как piy=—piy и ръу=—р2у (см. рис. 12.1, б), требование
сохранения импульса означает равенство величин у-составляющих импульса частиц 1 и 2 в системе отсчета К:
Теперь, наряду с К, введем в рассмотрение систему отсчета К', которая движется относительно системы центра масс со скоростью, равной ^-составляющей скорости частицы 2. В этой системе К' частица 2 до и после столкновения движется параллельно оси у' (рис. 12.1, в). Применяя закон сохранения импульса, убеждаемся, что в этой системе отсчета, как и в системе К, имеет место равенство «/-составляющих импульса частиц 1 и 2;
Но из симметрии картин столкновения на рис. 12.1, бив легко сделать вывод о том, что величина импульса частицы 1 в системе К равна величине импульса частицы 2 в системе отсчета К':
Сопоставляя два последних равенства, находим .piy=* =р[у, т. е. «/-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах отсчета К и К'- Точно так же находим pty^pzy- Другими словами, «/-составляющая импульса любой частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости систем отсчета, одинакова в этих системах.
Но «/-составляющая скорости частицы имеет различное значение в системах отсчета К и К'- Согласно формулам преобразования скорости (11.7)
где v есть скорость системы К' относительно К¦ Таким образом, в К' «/-составляющая скорости частицы 1 меньше, чем в К. Это уменьшение «/-составляющей скорости частицы 1 при переходе от К к К' непосредственно связано с релятивистским преобразованием времени: одинаковое в К и К' расстояние между штрихами А к В (рис. 12.1, б и в) частица 1 в системе К' проходит за большее время, чем в К-Если в К' это время равно т0 (собственное время, так как оба события — пересечение штрихов Л и Б — происходят
Piy — Piy*
Piy Ръу
500
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
в К. при одном и том же значении координаты'х), то в системе К' это время больше и равно т = т0/]/1—у2/са.
Вспоминая теперь, что «/-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах К и К', мы видим, что в системе К', где «/-составляющая скорости частицы меньше, этой частице нужно приписать большую массу. Масса частицы, характеризующая пропорциональность между скоростью и импульсом, зависит от системы отсчета, т. е. является величиной относительной. В той системе отсчета, где скорость частицы много меньше скорости света, для связи между импульсом и скоростью можно написать обычное классическое выражение р=т0и, где т0 есть масса частицы в том смысле, как она понимается в нерелятивистской физике (масса покоя).
Будем считать, что в рассматриваемом нами «скользящем» столкновении скорость частицы 1 в системе К и1у много меньше скорости света, т. е. ее масса в К есть масса покоя т0, и piy=m0Uiy. Написав аналогичное выражение для «/-составляющей импульса в К', т. е. р[у^=ти1у, видим, что равенство piy=p'ly будет обеспечено, если в К' приписать частице 1 большую массу т:
— уменьшение поперечной составляющей скорости при переходе от К к К' должно быть скомпенсировано возрастанием массы частицы. Точно так же в системе К' должны' возрасти массы всех тел, неподвижных или движущихся с нерелятивистскими скоростями в лаборатории, связанной с системой К¦ Это возрастание массы тел, вызванное движением лаборатории, связано с релятивистским замедлением времени.
Масса частицы, движущейся со скоростью, близкой к скорости света, как видно из (12.1), может значительно превышать массу покоя. Если такой частице сообщить дополнительную энергию, чтобы увеличить ее импульс, то скорость ее при этом увеличится очень незначительно. Энергия частицы и ее импульс увеличиваются теперь за счет роста ее массы. Этот эффект наблюдается в работе ускорителей заряженных частиц высоких энергий. Экспериментальное подтверждение релятивистского возрастания
*12. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ
601
массы со скоростью служит, вероятно, лучшей проверкой теории относительности. Выясним теперь, к каким изменениям в выражении для энергии частицы приводит полученная выше формула для релятивистского импульса:
Для этого вспомним, что в механике приращение импульса частицы Ар за промежуток времени At равно импульсу действующей на нее силы F:
Приращение кинетической энергии частицы АЕК эа тот же промежуток времени равно работе силы F:
АЕК ^FАг = Fv At = v Д/>= v A (mv). (12.3)
Здесь перемещение частицы Аг за At выражено через ее скорость V. Из формулы (12.3) и будем исходить при получении выражения для релятивистской энергии. Перепишем формулу (12.2) для массы следующим образом:
Умножив обе части на с2 и раскрыв скобки, получим
При движении частицы под действием силы F ее скорость и, следовательно, релятивистская масса меняются. Рассмотрим приращения левой и правой частей (12.4) за промежуток времени At. Приращение правой части равно нулю, так как она не зависит от состояния движения частицы. Для нахождения приращения левой части воспользуемся тем, что приращение квадрата любой переменной величины / за малый промежуток времени приближенно равно
