Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
S7. СВЕТОВЫЕ ЛУЧИ. ПРИНЦИП ФЕРМА
463
принцип будет просто неверен, например, когда свет от источника может попасть в какую-либо точку и непосредственно, и после отражения от зеркала. Однако точная формулировка принципа Ферма выходит за рамки данной книги.
Поскольку скорость света в среде с показателем преломления п равна cln, принцип Ферма можно сформулировать как требование минимальности оптической длины
Рис. 7.1. К выводу формулы тонкой линзы.
луча при распространении света между двумя заданными точками. Под оптической длиной луча понимается произведение показателя преломления на длину пути луча. В неоднородной среде оптическая длина складывается из оптических длин на отдельных участках. Использование этого принципа позволяет рассмотреть некоторые задачи с несколько иной точки зрения, чем при непосредственном применении законов отражения и преломления. Например, при рассмотрении фокусирующей оптической системы вместо применения закона преломления можно просто потребовать равенства оптических длин всех лучей.
Получим с помощью принципа Ферма формулу тонкой линзы, не прибегая к закону преломления. Для определенности будем рассматривать двояковыпуклую линзу со сферическими преломляющими поверхностями, радиусы кривизны которых равны и R2 (рис. 7.1).
Хорошо известно, что с помощью собирающей линзы можно получить действительное изображение точки. Пусть Si — предмет, S2 — его изображение. Все лучи, исходящие из Si и прошедшие через линзу, собираются в одной точке S2. Пусть Si лежит на главной оптической оси линзы, тогда изображение S2 также лежит на оси. Что значит получить формулу линзы? Это значит установить связь между
464
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
расстояниями d от предмета до линзы и / от линзы до изображения и величинами, характеризующими данную линзу: радиусами кривизны ее поверхностей и R„ и показателем преломления п. Из принципа Ферма следует, что оптические длины всех лучей, выходящих из источника и собирающихся в точке, являющейся его изображением, одинаковы. Рассмотрим два из этих лучей: один, идущий вдоль оптической оси, второй — через край линзы (рис. 7.1, а). Несмотря на то, что второй луч проходит большее расстояние, его путь в стекле короче, чем у первого, так что время распространения света от Si до S2 для них одинаково. Выразим это математически. Обозначения величин всех отрезков указаны на рисунке. Приравняем оптические длины первого и второго лучей:
d+nih+tj+f^+fi- (7-1)
Выразим di по теореме Пифагора:
d^Vifl + W+h'aid+Q Y
Теперь воспользуемся приближенной формулой У1 -(-*« лг 1+д:/2, которая справедлива при *С1 с точностью до членов порядка х2. Считая h малым по сравнению с d, с точностью до членов порядка (hid)4 имеем
I ft2
+ (7-2)
Аналогично для /! получаем
fi-f + tz + Tfh- (7-3>
Подставляем выражения (7.2) и (7.3) в основное соотношение (7.1) и приводим подобные члены:
(я— !) (^ + ^) = -2~
В этой формуле в случае тонкой линзы можно пренебречь величинами ti и t2 в знаменателях правой части по сравнению с d и /; очевидно, что в левой части выражения (7.4)
ti+ts следует сохранить, ибо этот член стоит множителем.
С той же точностью, что и в формулах (7.2) и (7.3), tx и /а с помощью теоремы Пифагора можно представить в
§7. СВЕТОВЫЕ ЛУЧИ. ПРИНЦИП ФЕРМА
465
виде (рис. 7.1, б)
/,=*гУТ!!=Р«з?, 1^ж,-
Теперь остается только подставить эти выражения в левую часть формулы (7.4) и сократить обе части равенства на h4 2:
(п— 1) (^7+^7) =~j+j-
Это и есть искомая формула тонкой линзы. Вводя обозначение
<7М>
ее можно переписать в виде
т+т = т- (7-6)
Нетрудно понять, что F есть фокусное расстояние линзы: если источник находится на бесконечности (т. е. на линзу падает параллельный пучок лучей), его изображение находится в фокусе. Полагая d—>-оо, получаем /->/\,
Полученное свойство фокусировки параллельного пучка монохроматических лучей является, как видно из проделанного вывода, приближеннымиспра-ведливо ЛИШЬ для узкого рис 72. Сферическая аберрация пучка, т. е. для лучей, не линзы,
слишком сильно отстоящих
от оптической оси. Для широких пучков лучей имеет место сферическая аберрация, т. е. далекие от оптической оси лучи пересекают ее не в фокусе (рис. 7.2). В результате изображение бесконечно удаленного точечного источника, создаваемое широким пучком лучей, преломленных линзой, оказывается несколько размытым.
Кроме сферической аберрации, линза как оптический прибор, формирующий изображение, обладает рядом других недостатков. Например, даже узкий параллельный
466
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
пучок монохроматических лучей, образующий некоторый угол с оптической осью линзы, после преломления не собирается в одну точку. При использовании немонохроматического света у линзы проявляется еще и хроматическая аберрация, связанная с тем, что показатель преломления п зависит от длины волны. В результате, как видно из формулы (7.5), узкий параллельный пучок лучей белого света пересекается после преломления в линзе не в одной точке: лучи каждого цвета имеют свой фокус. При конструировании оптических приборов удается в большей или меньшей
