Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
368
волны
кинетическая энергия струны максимальна, а потенциальная энергия равна нулю.
Попробуем разобраться, что это за колебания. До сих пор мы считали, что в точке 2=0 находится правый -конец струны, свободный или закрепленный, а влево струна тянется до бесконечности. Предположим для определенности, что правый конец струны закреплен и в струне установилась стоячая волна с некоторой длиной л и амплитудой в пучности, равной 2А. Она описывается уравнением (11.7).
Рис. П.5. Возбуждение стоячей полны в струне синусоидальным внешним воздействием на ее левый конец.
Теперь представим себе, что мы перерезали струпу а некоторой точке г==—I (рис. 11.5), а освободившийся коней приводим в движение внешней силой так, чтобы он совершал точно такие же гармонические колебания, как и в стоячей волне до перерезания струны. Ясно, что движение всех точек струны справа от этой точки при этом никак не изменится. Таким образом, стоячую волну в ограниченной струне длиной I с закрепленным правым концом можно рассматривать как установившееся вынужденное колебание при синусоидальном внешнем воздействии на ее леьый конец Р. Связь характеристик стоячей волны с законом движения xp(t) точки Р дается выражением, получаемым из формулы (11.7) при подстановке в нее значения г——I:
xp(t) — x(t, —/) = — 2A sin — /-sin со^. (-11.10)
Эту формулу можно понимать как условие для выражения амплитуды, в пучности стоячей волны 2А через амплитуду вынужденных колебаний левого конца струны Р. Если записать xp(t) в виде
л>(/)=5 — bsinco^. (П-11)
$11. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН. СТОЯЧИЕ волны 389
то из сравнения с (11.10) находим
(11.12)
sin--I
и
Как всегда при вынужденных колебаниях, нас интересует зависимость амплитуды от частоты.
Из формулы (11.12) видно, что амплитуда в пучности стоячей волны будет огромной (в отсутствие затухания — бесконечной) даже при очень малой амплитуде b колебаний
левого конца, если sin — / обращается в нуль. Но sin —f
и г j и
обращается в нуль при такой частоте внешнего воздействия, когда, как видно из рис. 11.5, на левый конец струны Р приходится узел стоячей волны. Итак, амплитуда в пучности обращается в бесконечность, если
(0/ | . л
— = пл, rt=l, 2,. ..
Это значит, что если частота внешней силы совпадает с одной из частот
= 1, 2,. .. (11.13)
то в системе наступает резонанс. Но резонанс в любой системе в отсутствие затухания имеет место при совпадении частоты внешнего воздействия с частотой собственных колебаний. Поэтому набор резонансных частот (11.13) есть в то же время набор частот собственных поперечных колебаний струны длиной / с закрепленными концами. Мы видим, что струна имеет бесконечное число частот собственных колебаний. Это связано с тем, что струит имеет бесконечное число степеней свободы.
Возбудить собственное колебание на частоте со„ в струне с закрепленными концами можно, например, следующим образом. Придадим струне конфигурацию, соответствующую такой стоячей волне, когда на струне укладывается» полуволн, и отпустим ее без начального толчка (рис. 11.6, а). Каждая точка струны будет тогда совершать, как и в стоячей волне, гармоническое колебание с частотой а)п. Поэтому такое движение струны представляет собой нормальное колебание.
390
волны
Любое собственное колебание струны можно представить как суперпозицию ее нормальных колебаний. При этом движение каждой точки струны, как и при произвольных колебаниях связанных маятников, уже не будет представлять собой простого гармонического колебания,
Рис. 11.6. Стоячие волны в струне как. ее нормальные моды.
а будет суммой нескольких гармонических колебаний с частотами со„.
Легко сообразить, что набор собственных частот струны длиной I со свободными концами совпадает с набором
(11.13) для такой же струны с закрепленными концами: в этом случае при нормальном колебании на струне также укладывается целое число полуволн (рис. 11.6, б). Если же у струны один конец закреплен, а другой свободен, то при нормальных колебаниях на ней укладывается целое число полуволн и еще четверть волны (рис. 11.6, в).
§ 12. Принцип Гюйгенса. Дифракция волн.
Эффект Допплера
Наглядное представление о распространении монохроматических волн в упругой среде или на поверхности воды дает картина волновых поверхностей. Напомним, что все точки среды, лежащие на одной волновой поверхности, имеют в данный момент одну и ту же фазу колебания. Другими словами, волновая поверхность — это поверхность постоянной фазы. Уравнение волновой поверхности можно получить, приравнивая фазу в уравнении волны постоянной величине. Например, для плоской волны,
