Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Найдем распределение амплитуд в стоячей волне. Для определенности будем рассматривать поперечную волну в гибкой струне. Пусть уравнение падающей волны имеет вид
x^it, г) = A cos со (^i — ^. 01.4)
Это уравнение описывает волну, бегущую со скоростью и в положительном направлении оси z из —оо в оо. Предположим, что в точке z=0 волна испытывает отражение. Этого можно добиться, либо закрепив струну в этой точке, либо перерезав ее. В первом случае происходит отражение
§11. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
385
волны от закрепленного конца струны, во втором — от свободного. Физические условия отражения в этих случаях разные, но амплитуда отраженной волны в обоих случаях равна амплитуде падающей, так, как энергия волны не может передаваться далее. Если обозначить изменение фазы волны при отражении через б, то уравнение отраженной волны записывается в виде
х„ (t, 2) -= A cos [«>(* + -'j + б
(11.5)
Оно опкшвает волну, распространяющуюся в отрицательном направлении с-си г, и поэтому отличается от уравнения (П.4) заменой ы на -~и.
Как изменяется фаза волны при отражении? Колебание любой точки струны есть результат сложения гармонических колебаний, вызываемых падающей и отраженной волнами. Поэтому, если конец струны закреплен, то складываемые колебания в этой точке в любой момент времени должны погасить друг друга, т. е. они должны происходить в противофазе: для закрепленного конца струны б—я. Напротив, если конец струны в точке г—0 свободен, то амплитуда результирующего колебания в этой точке должна быть максимальной, т. е. падающая и отраженная волны имеют здесь одинаковую фазу: 8—0. Теперь уравнение отраженной волны (11.5) можно записать в виде
л', -J, г) =•-- ± A cos со (i + ~ j. (11.6)
Знак «+» соответствует отражению от свободного конца, а знак «—» — отражению от закрепленного конца. Для определенности рассмотрим случай, когда конец струны в точке 2=0 закреплен. Сложение падающей и отраженной волн приводит к следующему результату:
x{t, г) л, .
cos со (I— ^ j —cos <о \J -\--и) 0)2
2/i sin — sin at. (11.7)
Формула (11.7) показывает, что каждая точка струны совершает гармоническое колебание с частотой м. Амплитуда для разных точек различна и зависит от координаты точки
386
ВОЛНЫ
по следующему закону!
А (г) = 2Л
sm ¦
0)Z
(11.8)
Точки, в которых амплитуда колебаний струны максимальна, называются пучностями стоячей волны. Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами. Как видно из формулы (11.8), узлы находятся в точках, определяемых условием
сог
и
¦ МП,
где г -'О, -—1, —2, Расстояние между соседними узлами равно шт/со. Так как л/со равно половине периода колебаний 772, то расстояние между соседними узлами (или
Рис. 11.3. Стоячая волна в струне с закрепленным правым концом (а) и со свободным правым концом (б).
пучностями) стоячей волны равно половине длины бегущей волны Х/2. График зависимости амплитуды стоячей волны от г показан на рис. 11.3, а. На этом же рисунке пунктиром показано положение струны в некоторый момент времени t.
Из формулы (11.7) видно, что колебания всех точек струны, лежащих между двумя любыми ближайшими узлами, происходят в одинаковой фазе, так как для всех
этих точек знак sin— один и тот же. Колебания точек и
струны, лежащих по разные стороны узла, происходят в противофазе, так как при переходе через узел sin-^
§11. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
387
меняет знак. Фазовые соотношения в стоячей волне хорошо видны из рис. 11.3. Совершенно аналогично рассматривается стоячая волна, возникающая при отражении от свободного конца струны.
Как создать в струне со свободным концом предварительное натяжение, необходимое для распространения волн? Можно, например, прикрепить к правому концу струны легкое кольцо и надеть его на гладкий вертикальный стержень (рис. 11.4). Такое кольцо может скользить с пренебрежимо малым трением по стержню, передавая горизонтальную Рис- 11-4- Кольцо, скользя-
силу натяжения струне, и не шее без трения по стержню,
J 1j ' позволяет считать конец
препятствует смещению конца струны свободным, хотя стру-
струны в поперечном направле- на натянута,
нии. Для отраженной от свободного конца струны волны следует взять знак «+» в формуле (11.6). Поэтому уравнение стоячей волны принимает вид
x(t, г) = 2Л cos-^-cosсо/. (П-9)
Картина распределения амплитуд и мгновенное положение струны в такой волне показаны на рис. 11.3,6. Узлы н пучности здесь сдвинуты на расстояние Х/4 по отношению к картине для струны с закрепленным кондом.
Находящиеся в узлах стоячей волны частицы струны вообще не движутся. Поэтому через узловые точки не происходит передачи энергии. Стоячая волна, по существу, уже не является волновым движением, хотя и получается в результате интерференции двух бегущих навстречу волн одинаковой амплитуды. То, что стоячая волна уже фактически не волна, а скорее просто колебание, можно увидеть и из энергетических соображений. В бегущей волне кинетическая и потенциальная энергии в каждой точке колеблются в одинаковой фазе. В стоячей волне, как видно, например, из рис. 11.3, колебания кинетической и потенциальной энергий сдвинуты по фазе так же, как и при колебаниях маятника: в тот момент, когда все точки струны одновременно проходят через равновесное положение,
