Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
x(t, г) =а~- cos ю (^t — (10.16)
где а есть амплитуда колебаний на расстоянии г0 от центра волны.
§11. Интерференция волн. Стоячие волны
При одновременном распространении нескольких волн смещения частиц среды представляют собой векторную сумму смещений, которые имели бы место при распространении каждой волны в отдельности. Иначе говоря, волны просто
380
волны
накладываются одна на другую, не искажая друг друга. Этот экспериментальный факт был известен еще Леонардо да Винчи, который заметил, что круги волн на воде от разных источников проходят друг сквозь друга и распространяются дальше, не претерпев никаких изменений. Утверждение о независимом распространении нескольких волн носит название принципа суперпозиции для волнового движения.
Мы уже рассматривали распространение в одном направлении двух одинаково поляризованных монохроматических волн с близкими частотами. В результате наложения таких волн получается почти синусоидальная волна с периодически меняющейся в пространстве амплитудой. «Моментальная фотография» такой волны выглядит как следующие друг за другом группы волн (рис. 9.5), а вызываемое волной колебание в какой-либо фиксированной точке имеет характер биений (рис. 8.2).
Особый интерес представляет случай сложения так называемых когерентных волн, т. е. волн от согласованных источников. Простейшим примером когерентных волн являются монохроматические волны одинаковой частоты с постоянной разностью фаз. Для истинно монохроматических волн требование постоянной разности фаз будет лишним, так как они являются бесконечно протяженными в пространстве и во времени и две такие волны одинаковой частоты всегда имеют постоянную разность фаз. Но реальные волновые процессы, даже близкие к монохроматическим, всегда имеют конечную протяженность. Для того чтобы такие квазимонохроматические волны, представляющие собой последовательности отдельных синусоидальных цугов, были когерентными, требование постоянной разности фаз является обязательным. Строго говоря, понятие когерентности волн является более сложным, чем описано выше. Подробнее мы познакомимся с ним в разделе «Оптика».
При сложении когерентных волн наблюдаются явления интерференции, заключающиеся в том, что вызываемая этими волнами картина колебаний является стационарной, т. е. в каждой точке происходят колебания с не зависящей от времени амплитудой. Разумеется, в разных точках амплитуды колебаний будут различаться.
Для расчета интерференционных картин нужно уметь складывать колебания одинаковой частоты, происходящие
S11. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
361
в одном направлении. Проще всего найти результат сложения таких колебаний, воспользовавшись представлением гармонических колебаний с помощью векторных диаграмм. Пусть складываемые колебания имеют вид
(i) = Л^соз (м/ +а1), хг (t) — Аг cos (м/ + а2). (11.1)
Этим колебаниям можно сопоставить векторы Л, и Л2 на диаграмме, изображенной на рис. 11.1. Поскольку колебания имеют одинаковую частоту со, сопоставляемые им векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью, так что их взаимное расположение остается неизменным. Результирующему колебанию будет соответствовать вектор А, равный сумме векторов Ах и А 2, и это колебание будет иметь вид
x(0=x1(0+x2(0==
~Л cos(w^+ct). (П.2)
Амплитуду Л и начальную фазу а результирующего колебания легко найти с помощью рнс. 11.1. Применяя теорему косинусов, имеем
Л2 = А'} 4- Л j +2 A1At cos (at—- а2), (П.З)
а для tg а справедливо выражение
, A f sin a, 4- А.г sin оц
t р' /у. =- - --------- .
° " <4, cos Ki Аг соа аг
Поскольку энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то из выражения (11.3) епдно, что энергия результирующего колебания в общем случае не равна сумме энергий складываемых колебаний. Например, если амплитуды Ai и Л а одинаковы, амплитуда результирующего колебания может иметь значения от Л =0 при ах—а2 ---п (складываемые колебания происходят в противофазе) до Л=2Л1 при ах—а2=0. В нервом случае энергия результирующего колебания равна нулю, а во втором она в два раза больше суммы энергий складываемых колебаний.
Полученные результаты позволяют легко находить картину интерференции двух когерентных волн одинаковой по-
// i'i
Pise. 11.1. Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты с помощью векторной диаграммы.
382
волны
ляризации. Пусть, например, два когерентных источника, находящиеся на расстоянии d друг от друга, создают сферические волны, интерференция которых наблюдается в точке Р (рис. 11.2). Если расстояния 1± и /г от источников до точки наблюдения Р велики по сравнению с расстоянием d между источниками, то амплитуды обеих волн в точке
^ наблюдения. Результат интер-
ференции в точке Рбудет зави-Рис. 11.2. К интерференции волн сеть от разности фаз между
