Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Скорость продольных волн в упругой среде всегда больше скорости поперечных. Сравним, например, скорости продольных и поперечных волн Ui и в натянутой гибкой струне. Поскольку при малых деформациях упругие постоянные не зависят от величины приложенных сил, то скорость продольных волн в натянутой струне не зависит от величины ее предварительного натяжения и определяется формулой (9.11). Для того чтобы сравнить эту скорость с найденной ранее скоростью поперечных волн ut, выразим натягивающую струну силу F, входящую в формулу (9.6), через относительную деформацию струны е=А///,¦„ обусловленную этим предварительным натяжением: a~F/(SE). Подставляя значение F в
Рис. 9.6. К выводу выражения для скорости продольных волн в стержне.
874
волны
формулу (9.6), получаем
(9.12)
Таким образом, скорость поперечных волн в натянутой струне ut оказывается значительно меньше скорости продольных волн, так как относительное растяжение струны е много меньше единицы.
При распространении волн происходит передача энергии без переноса вещества. Энергия волны в упругой среде состоит из кинетической энергии совершающих колебания частиц вещества и из потенциальной энергии упругой деформации среды.
Рассмотрим, например, продольную волну в упругом стержне. В фиксированный момент времени кинетическая энергия распределена по объему стержня неравномерно, так как одни точки стержня в этот момент покоятся, другие, напротив, движутся с максимальной скоростью. То же самое справедливо и для потенциальной энергии, так как в этот момент какие-то элементы стержня не деформированы, другие же деформированы максимально. Поэтому при рассмотрении энергии волны естественно вводить плотность кинетической и потенциальной энергий. Плотность энергии волны в каждой точке среды не остается постоянной, а периодически меняется при прохождении волны: энергия распространяется вместе с волной.
Начнем с плотности кинетической энергии в монохроматической упругой волне, описываемой уравнением (9.2):
Выделим в стержне малый элемент длины между плоскостями г и г+Дг такой, что его длина Дг в недеформированном состоянии много меньше длины волны К. Тогда скорости v всех частиц стержня в этом элементе при распространении волны можно считать одинаковыми. С помощью формулы
(10.1) находим скорость v=x, рассматривая x(t, z) как функцию времени и считая величину z, характеризующую положение рассматриваемого элемента стержня,
§10. Энергия волн
(10.1)
$10. ЭНЕРГИЯ ВОЛН
375
фиксированной:
v(t, г) = х — — соЛэтю^ — . (10.2)
Масса выделенного элемента стержня Ат равна pS Az, поэтому его кинетическая энергия АЕ1{ в момент времени t есть
А?„ = у Amw* = -jpSA?(oM*sin*© [t — -i). (10.3)
С помощью выражения (10.3) находим плотность кинетической энергии &'„(<, г) в точке г в момент времени t:
wK (t, 2)=|§i = -ip«M2sin3co(<—i). (10.4)
Перейдем к вычислению плотности потенциальной энергии волны. Поскольку длина выделенного элемента стержня мала по сравнению с длиной волны, то вызываемую волной деформацию этого элемента можно считать однородной. Поэтому потенциальную энергию деформации АЕи, в соответствии с формулой (8.9) раздела «Механика», можно записать в виде
(10.5)
где АI —¦ удлинение рассматриваемого элемента стержня Аг, вызванное проходящей волной. Для нахождения этого удлинения нужно рассмотреть положение плоскостей, ограничивающих выделенный элемент, в некоторый момент времени t. Мгновенное положение любой плоскости, равновесное положение которой характеризуется координатой г, определяется функцией x(t, г), рассматриваемой как функция г при фиксированном t. Поэтому удлинение А/ рассматриваемого элемента стержня, как видно из рис. 10.1, равно
Al=x(t, z+Az)—x(t, z).
Относительное удлинение этого элемента есть
Д/ __x(t, z-J Дг) — x(t, г)
Дг Дг *
г+Аг
Рис. 10.1. К выводу формулы для относительного удлинения выделенного элемента стержня.
376
волны
Если в этом выражений перейти к пределу при Дг->0, то оно превращается в производную функции x(t, г) по переменной г при фиксированном t. С помощью формулы (ЮЛ) получаем
Дг
¦ A sin <11
(10.6)
Теперь выражение для потенциальной энергии (10.5) принимает вид
А Е„ = 4 S А г Е (-?- Л )1' sin3 со (t- f j, (10.7)
а плотность потенциальной энергии wn(t,z) в точке г в
моменг времени t есть
=1 Е ~ A2 sin*o> (l—~
2 и1 \ и
S Л;-
(10.8)
Посг^ол'.ку скорость распространения продольных волн «= Е!'\ то правые части в формулах (10.8) и (10.4) совпа-
дают. Это значит, что в бегущей продольной упругой волне плотности кинетической и потенциальной энергий равны в любой момент времена в любой точке средь;. Зависимость плотности энергии волны ЬУ = Г?1„ + ДОП от координаты z в фиксированный момент времени t показана на рис. 10.2.
