Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
волна бежит направо со скоростью и. Перейдем в новую систему отсчета, движущуюся вдоль струны со скоростью, равной скорости волны и. Эта система отсчета также является инерциальной, и, следовательно, в ней справедливы законы Ньютона. Из этой системы отсчета волна кажется застывшей синусоидой, а вещество струны скользит вдоль этой синусоиды налево: любой предварительно окрашенный элемент струны будет казаться убегающим вдоль синусоиды палево со скоростью и.
Рассмотрим в этой системе отсчета элемент струны длиной А/, которая много меньше длины волны К, в тот момент, когда он находится на гребне синусоиды (рис. 9.4). Применим к этому элементу второй закон Ньютона. Силы, действующие на элемент со стороны соседних участков струны, показаны в выделенном кружке на рис. 9.4. Поскольку рассматривается поперечная волна, в которой смещения элементов струны перпендикулярны направлению распространения волны, то горизонтальная составляющая силы натяжения F постоянна вдоль всей струны. Так как длина рассматриваемого участка А/•С^, то направления сил натяжения, действующих на выделенный элемент, почти горизонтальны, а их величину можно считать равной F. Равнодействующая этих сил направлена вниз и равна F Да. Скорость рассматриваемого элемента равна и и направлена влево,
§9. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ
371
а малый участок его синусоидальной траектории вблизи горба можно считать дугой окружности радиуса R. Поэтому ускорение этого элемента струны направлено вниз и равно и*Ш. Массу элемента струны можно представить в виде pSAl, где р — плотность материала струны, a S — площадь сечения, которые ввиду малости деформаций при распространении волны можно считать постоянными. На основании второго закона Ньютона
FAa=pSA/-^. (9.5)
Учитывая, что Al=R Аа (см. рис. 9.4), получим
и- /Г. (9.6)
Это и есть искомая скорость распространения поперечной монохроматической волны малой амплитуды в натянутой струне. Видно, что она зависит только от механического напряжения натянутой струны FIS и от ее плотности р и не зависит от амплитуды и длины волны. Это значит, что поперечные волны любой длины распространяются в натянутой струне с одинаковой скоростью. Если в струне одновременно распространяются, например, две волны с одинаковыми амплитудами и близкими частотами и со2, то вследствие равенства их скоростей уравнение результирующей волны будет иметь вид
x(t, г) = ЛсоБо)1^—z- j -f- A cos co2 (^t—=
= 2Л cos (^t—jjj - cosco (j — , (9.7)
где со = (сох+сог), a Aco=coj—co2. «Моментальные фотографии» монохроматических волн и результирующей волны показаны на рис. 9.5. Там, где горб одной волны совпадает с горбом другой, в результирующей волне смещение максимально. Поскольку соответствующие отдельным волнам
Рис. 9.4. К выводу выражения для скорости поперечной волны в натянутой струне.
372
волны
синусоиды бегут вдоль оси г с одинаковой скоростью и, то и результирующая кривая бежит с той же самой скоростью, но меняя своей формы. Оказывается, что это справедливо для волнового возмущения любой формы: поперечные волны произвольного вида распространяются в натянутой струне, не меняя своей формы.
Если скорость распространения монохроматических волн не зависит от длины .волны или частоты, то говорят, что отсутствует дисперсия. Сохранение формы любой волны при ее распространении есть следствие отсутствия дисперсии.
Рис. 9.5. Сложение двух монохроматических воли с близкими частотами.
Дисперсия отсутствует для волн любого вида, распространяющихся в сплошных упругих средах. Это обстоятельство позволяет очень легко найти скорость продольных волн.
Рассмотрим, например, длинный упругий стержень площади S, в котором распространяется продольное возмущение с крутым передним фронтом. Пусть в некоторый момент времени t фронт волны, перемещаясь со скоростью и, дошел до точки с координатой г; справа от фронта все точки стержня еще покоятся. Спустя промежуток времени At фронт переместится вправо на расстояние и At (рис. 9.6). В пределах этого слоя все частицы движутся с одной и той же скоростью V. Спустя промежуток времени At частицы стержня, находившиеся в момент t на фронте волны, переместятся вдоль стержня на расстояние v At.
89. ЬОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ
873
Применим к вовлеченной за время At в волновой процесс массе стержня Am^pSuAt закон сохранения импульса:
v Ат — vp Su At — F At. (9-8)
Величину действующей на массу Ат силы F выразим через деформацию элемента стержня с помощью закона Гука:
д/
I =
ES
(9.9)
Длина I выделенного элемента стержня равна и At, а изменение его длины АI под действием силы F равно v At. Поэтому с помощью (9.9) находим
Р ES-
(9.30)
Подставляя это значение в (9.8), получаем
(9-31)
,vAt
иМ
Скорость продольных звуковых волн в упругом стержне зависит только от модуля Юнга Е и плотности р. Легко убедиться, что в большинстве металлов эта скорость составляет примерно 5 км/с.
