Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
р (х (t), х*) < е, где р (х (t), х*) — расстояние между фазовыми точками с координатами х (t) и х*. Состояние равновесия называется асимптотически устойчивым, если в дополнение к сказанному р стремится к нулю при неограниченном воз растании времени. Характер особой точки определяется характером поведения фазовых траекторий в ее малой окрестности. Рассмотрим фазовый портрет в окрестности состояния равновесия на примере динамической системы, которая описывается тремя дифференциальными уравнениями:
х = X (х, у, z), // = Y {х, у, z), z — Z (х, у, z) (1.1)
с гладкими правыми частями. В состоянии равновесия М0 (х*, у*, z*) правые части дифференциальных уравнений (1.1) обращаются в нуль. Поведение фазовых траекторий вблизи точки М0 описывается уравнениями в вариациях
дХ \ е , / с)Х \ / дХ \ .,
; МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
Рио. 1.6
Рис. 1.7
ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
15
Эти уравнения получаются в результате линеаризации уравнений (1.1) в окрестности состояния равновесия (х*, у*, z*) относительно малых величин ? = х — х*, т] = = у — у*, ц = z — z*. Решение уравнений (1.2) определяется корнями характеристического уравнения
'/(>0
.'Л- , ОХ дХ
дх оу dz
dY dY 1 iL
дх ду dz
д/ дЪ дЪ
дх ву dz
= 0.
(1.3)
п котором все производные вычислены при х = х*, у —
— у*, z — z*. Здесь возможны следующие основные случаи:
1. Корпи уравнения (1.3) — действительные отрицательные (положительные) числа. Состояние равновесия в этом случае называется устойчивым (неустойчивым) узлом и изображено на рис. 1.5, а, б.
2. Один из корней — действительный, два других — комплексные, причем все корни имеют отрицательные (положительные) действительные части. Состояние равновесия в этом случае называется устойчивым (неустойчивым) фокусом (рис. 1.6, а и б).
3. Один из корней — действительный, два других — комплексные, причем знаки действительного корня и действительных частей двух других — комплексно-сопряженных корней — разные. Состояние равновесия в этом случае изображается особой точкой типа седло-фокус (рис. 1.7, а и б).
4. Все корни действительные и разных знаков. Этот случай соответствует двум типам особых точек седло-узел, изображенным на рис. 1.8, а л б.
Для периодических движений понятия устойчивости по Ляпунову и орбитной устойчивости различаются. Периодическое движение х = х* (t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого е 0 можно указать такое б (е), что для всякого другого движения х = х (t), для которого р (х* (t0), х (t0)) б, при всех t > t0 выполняется неравенство р (х* (t), х (t)) <" е (рис. 1.9). Определение орбитной устойчивости состоит в следующем. Пусть у — замкнутая фазовая траектория, отвечающая периодическому движению х = х* (t), устойчивость которого .исследуется, а х = х (t) (—°о I
оо) — произвольная фазовая кривая. Периодическое
16 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
движение х = х* (t) называется орбитно устойчивым, если для любого е 0 можно указать такое б (е) О, что при выполнении неравенства р (х {i0),y) б следует
Рис. 1.8
выполнение неравенства р (х (t), Y) <С е Для всех значений t^>t0 (рис. 1.10). Этим определениям можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Требование
устойчивости по Ляпунову означает, что фазовые точки, расстояние между которыми в начальный момент не превышало б, в дальнейшем будут находиться друг от друга на расстоянии, меньшем s. Требование орбитной устойчивости несколько слабее: если в начальный момент расстояние фазовой точки от замкнутой траектории было меньше б, то в дальнейшем это расстояние не превысит е. Итак, орбитно устойчивое движение моя«ет быть неустойчивым по Ляпунову, однако периодическое движение, устойчивое по Ляпунову, всегда орбитно устойчиво.
,) ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Г?
Рис.. 1.11
Рис. 1.12
Рис. 1.13
i« МЛ’ПМЛТЙЧЕСКИЙ МОДЕЛИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
Рассмотрим структуру разбиения фазового пространства на траектории в окрестности периодического движения на примере трехмерного фазового пространства. Пусть х =
— х* (t), у = у* (t), z = z* (t) — периодическое решение периода т системы диффренциальных уравнений (1.1). Линеаризуя эти уравнения в окрестности рассматриваемого периодического движения, мы придем к уравнениям в вариациях вида (1.2), в которых частные производные
V дх 1х=х*(1),
у=!/*(<),
(—)
представляют собою периодические функции периода т. Пусть I1 (t), I]1 (t), ?г (t) (г = 1,2, 3) — фундаментальная система решений этих диффренциальных уравнений с периодическими коэффициентами, т. е. система решений, удовлетворяющая начальным условиям |г (0) = б1г, т]г (0) = 62i, ?г (0) = бзг, где 8(j — символ Кронекера, равный единице при г = / и нулю при г Ф /. Характеристическое уравнение для рассматриваемого периодического движения имеет вид
