Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
8 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
§ 1. Понятие динамической системы [1]
Понятие динамической системы возникло как обобщение понятия механической системы, движение которой описывается дифференциальными уравнениями Ньютона. В своем историческом развитии понятие динамической системы, как и всякое другое понятие, постепенно изменялось, наполняясь новым, более глубоким содержанием. Уже в книге Рейли по теории звука сединой точки зрения рассматриваются колебательные явления в механике, акустике и электрических системах. В настоящее время понятие динамической системы является весьма широким. Оно охватывает системы любой природы: физической, химической, биологической, экономической и др., причем не только детерминированные системы, но и стохастические. Описание динамических систем также допускает большое разнообразие: оно может осуществляться или при помощи дифференциальных уравнений, или такими средствами, как функции алгебры логики, графы, марковские цепи и т. д,
В настоящее время для исследования этих систем используются два разных подхода, отличающихся типом математической модели, которая отражает поведение динамической системы. При одном подходе математическая модель динамической системы S основывается на понятии состояния х, под которым понимается описание системы S в некоторый момент времени*), и на понятии оператора Т, определяющего изменение этого состояния х во времени. Оператор Т указывает процедуру, выполняя которую можно по описанию х (t) в момент времени t найти описание х (t -f- At) той же системы в некоторый следующий момент времени t + At. Если оператор Т не зависит явно от времени, то система S называется автономной, в противном случае — неавтономной. Состояние х системы S можно рассматривать как точку некоторого пространства Ф, называемого фазовым пространством системы S. Изменению состояния х отвечает в фазовом пространстве Ф движение соответствующей точки, которая называется изображающей. При этом движении изображающая точка описывает кривую, на-
*) В механике, например, состояние системы определяется совокупностью обобщенных координат и скоростей. В случаях же, например, систем автоматов, стохастических систем и др. описание может быть осуществлено при помощи других параметров.
g 2) КЛАССИФИКАЦИЯ динамических систем О
зываемую фазовой траекторией. Фазовое пространство Ф и оператор Т составляют математическую модель динамической системы. Исследование поведения динамической системы при таком подходе сводится к изучению характера разбиения фазового пространства Ф на траектории и к выяснению зависимости структуры этого разбиения от значений физических параметров системы.
Другой подход к изучению динамических систем основан на исследовании функциональной стороны рассматриваемой системы. Этот подход может диктоваться невозможностью или отсутствием необходимости проникнуть во все тонкости внутренней структуры динамической системы. Поэтому система в этом случае трактуется как некий «черный ящик», обладающий входными и выходными переменными. Между этими переменными «черный ящик» реализует связь, определяемую некоторым оператором. Таким образом, математическая модель при вюром подходе определяется пространствами входов и выходов, а также оператором, который осуществляет однозначное преобразование входных переменных в выходные.
Второй подход окапывается полезным при изучения систем автоматического регулирования, вычислительных машин, поисковых и самообучающихся систем. В этой книге используется первый подход, который позволяет изучить динамику системы с исчерпывающей полнотой.
§ 2. Классификация динамических систем
Математические модели динамических систем можно классифицировать в зависимости от структуры их фазового пространства Ф и вида оператора Т. Различают случаи непрерывного и дискретного фазового пространства в зависимости от того, какой ряд значений могут принимать величины х, характеризующие состояние динамической системы: непрерывный или дискретный. Изменение состояния х во времени также может быть непрерывным или дискретным. Изменение непрерывно во времени, если At— произвольное неотрицательное число, и дискретно во времени, если At может принимать лишь некоторые дискретные положительные значения. Операторы Т принято различать по их свойствам и по форме задания. Если оператор Т обладает свойством суперпозиции, то он называется линейным. Если оператор Т является нелинейным, то и соответствующая динамическая система назы-
10 математические модели КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ |ГЛ. I
вается нелинейной. Кроме того, оператор Т может быть непрерывным или дискретным. Форма задания оператора Т может быть дифференциальной, интегральной, матричной, табличной и т. д. В этой книге речь пойдет о дискретных математических моделях динамических систем, состояние которых определяется конечным числом переменных, с непрерывным фазовым постранством и непрерывным дифференциальным оператором Т, в общем случае нелинейным. Таким образом, мы будем рассматривать динамические системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных.
