Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
работе [1.167], а интересный альтернативный анализ в статье [1.169].
Теоремы сложения вроде (1.161) связаны с абелевыми (якобиевыми)
многообразиями; рекомендуем читателю исследования по якобие-вым
многообразиям на эту тему, описанные в [1.167] и затем в [1.174] и
[1.175].
Резкое расширение прикладных возможностей теории солитонов произошло
также и в совсем другом направлении. Оно было вызвано разработкой,
начиная с 1976 г., теорий сингулярного возмущения для таких
неинтегрируемых уравнений, которые в некотором смысле "близки" к
интегрируемым системам. Здесь стоит упомянуть новаторские работы Каупа и
Ньюэлла [1.176-1.178], а также приложения теории сингулярных возмущений к
"двойному СГ-уравнению"
Utt
= ± (sin и + ~ е sin ы) (1.170)
[1.179], [1.180] и [1.181] (физические приложения уравнения
(1.170) описаны нами в гл. 3). Мы также рекомендуем ознакомиться с
теориями возмущений Скотта и Маклафлина [1.25, 1.182], Карпмана [1.183] и
с недавней работой Ньюэлла [1.184]. Ньюэлл посвятил часть гл. 6 своему
варианту теории сингулярных возмущений.
К недавним точным результатам по интегрируемым системам относятся:
решение уравнений одномерного гейзенберговского ферромагнетика в
континуальном приближении
<1Л71>
(где s(x,t) есть плотность непрерывно распределенного спина), которое
нашли Тахтаджян [1.185] и Лакшманан [1.186]; решение уравнений твердого
тела (Манаков [1.187]); уже упоминавшиеся решения многочастичных задач
[1.166-1.170] и некоторые обобщения [1.18Ь]. Рекомендуем читателю также
ряд трудов конференций [1.137, 1.189-1.194]; в них можно найти новейшие
темы, связанные с теорией солитонов, математические результаты и
ознакомиться с современным диапазоном физических приложений. В качестве
простого очерка этих приложений, круг которых ныне чрезвычайно широк, мы
также рекомендуем работы [1.22] и [1.23].
Мы пока почти ничего не сказали о солитонах в случае более одного
пространственного измерения (двумерные евклидовы пространства,
рассмотренные в разд. 1.3, имеют лишь
1.7. Дальнейшее развитие метода
67
одно пространственное измерение; второе измерение--это, конечно, время).
Ограничения теоремы Хобарта-Деррика [1.195-1.197] для решений обобщенного
уравнения Клейна - Гордона в случае более чем одного пространственного
измерения широко известны [1.22, 1.43]. Этот случай (многомерные
пространства) рассматривается, например, также в работах [1.101],
[1.158], [1.161], [1.198] и [1.199]; особо отметим в этой связи гл. 7
настоящей книги. Следует упомянуть- осуществленное Ф. Калоджеро обобщение
схемы АКНС на случай большего числа "времениподобных" пространственных
измерений (см. гл. 6, 9 и работу [1.69]). Приводились конкретные примеры
солитонов типа плоской волны в случае более одного пространственного
измерения (см., например, [1.29], [1.199] - [1.201]); в частности,
уравнения Кадомцева - Петвиашвили
3$2иуу + ("/ + иххх -f &иих)х = 0 (1.172)
(Р2 = ±1) имеют многосолитонные плосковолновые решения [1.29, 1.118,
1.158]. Недавно Манаков и др. [1.202] обнаружили (найдя подходящий
предельный случай плосковолнового много-солитонного решения)
несингулярные строго локализованные решения уравнения (1.172) в случае Р2
=-1. Решения локализованные но сингулярны при р2=-}-1. В обоих случаях
они являются рациональными функциями, но их связь с рациональными
решениями, ассоциированными с многочастичными задачами, не установлена.
Неясно также, являются ли они особым случаем или чем-то более общим.
Уравнения Кадомцева - Петвиашвили были решены методами алгебраической
геометрии [1.118]. Атья [1.203] нашел (или, по крайней мере в принципе,
может найти) сопоставимыми алгебро-геометрическими методами все решения
типа "инстантонов" для классической само-дуальной неабелевой
калибровочной теории; эти решения относятся к четырехмерному евклидову
пространству. На наш взгляд, связь между инстантонами и солитонами не
вполне доказана. Тем не менее Белавин и Захаров [1.204] уже показали, как
найти инстантонные решения обобщенным методом обратной задачи рассеяния.
Этот метод применим к любому числу измерений').
Это последнее достижение в теории солитонов и метода обратной задачи
рассеяния является по существу новейшим фундаментальным результатом,
который мы можем привести в настоящей статье. В помощь тем читателям,
которых более 'интересуют приложения теории солитонов к определенным раз-
]) Маккарти [1.214, 1.215] нашел ПБ для случая 2" измерений (п ^ 1) и. в
частности, сообщил о самодуальных калибровочных полях SUz, рассмотренных
Янгом [1.216], и о У-солитонном решении для них.
68
1. Солитон и его история
делам физики, мы завершим главу перечислением литературных источников по
соответствующим разделам. Солитонам в физике плазмы посвящена гл. 2,
работы [1.22], [1.189], [1.193] и работы, ссылки на которые там
содержатся; лазерной физике- гл. 2, 3, статьи в книге [1.137] и
цитируемая в них литература; физике твердого тела - гл. 12 и статьи в
