Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
многообразием, удовлетворяющим уравнениям (1.160Ь)) является также
системой уравнений для гамильтонова потока с ограничением, связанного с
(1.154), а именно если Fr определено выражением (1.157Ь), то F2 = H
дается формулой (1.154), тогда как поток с гамильтонианом F3,
ограниченный условием grad F2 = 0, дает при g - 6 в точности систему
(1.160), так как
^ Z у3' + 8 Z yi (*' ~ ХА~2' (Ы62)
1Ф1
Поскольку величины Fn находятся в инволюции, то потоки с этими
гамильтонианами попарно коммутируют; тогда если условие grad Fk = 0
выполняется для какого-либо k в какой-нибудь момент t, то это ограничение
будет сохраняться в процессе движения (поток, отвечающий F" и
ограниченный условием grad Fk~ 0, является инвариантным потоком [1.167]).
64
1. Солитон и его историА
Осталось показать, что система (1.160) имеет решение; это будет так,
если, во-первых, X/ лежат в комплексной х-плоскости и, во-вторых, N =
n(n-\- 1)/2 для некоторого п- 1, 2 Например, если А = 1, то и - 2(х - с)-
1; если N = 3, то корни х,-уравнения (1.160а) пропорциональны кубическим
корням из единицы [1.168], и ti(x, t) = 6х2(х3 - 2У + с)-1. Заметим, что,
как показано в [1.168], и является решением (1.158) (где г/ = = 1) тогда
и только тогда, когда и(х, t) = 2д2 In Р(х, t)/dx2,
N
где Р(х, ()= Ц [х - Xj(t)\ и Xj удовлетворяет (1.157а). Эта
/=1
формула отражает М-солитонную формулу для вещественной оси (см. (1.16),
(1.22)), а также выражение решений уравнения КдФ с периодическими
граничными условиями посредством 0-функции, выведенное С. П. Новиковым в
гл. 10; В. Б. Матвеев установил ее связь с М-солитонной формулой Хироты в
лекциях [1.119].
Аналогичная связь между разрешимой многочастичной задачей и интегрируемым
эволюционным уравнением была найдена для рациональных решений (1.160а)
уравнения Буссинеска [1.167]: многочастичная задача - это по-прежнему
(1.154), но теперь ограниченный поток отвечает гамильтониану F2 с
ограничением grad(/r3 - 7ri) = 0 [1.167]. Уравнение КдФ (1.159)
также допускает выражаемые через эллиптическую функцию
решения вида
и(х, 0 = ?^{2~1/2[*-*,(/)]} (1.163)
/= 1
тогда и только тогда, когда [1.169]
Х/ = 3 z ^[2~1,2(x,-xk)l (1.164а)
k Ф 1
? ^'l2~m{Xj-xk)] = 0. (1.164b)
Соответствующая многочастичная задача - это
я,:==тХ]^+6Х] ^ о.165)
1Ф1
с инвариантами /' = #', /'...... Поток есть поток с гамильто-
нианом /' и ограничением grad/' -0. Подобным образом потоки уравнений КдФ
высших порядков лаксовой иерархии суть, по-видимому,/'- потоки с
ограничением grad/' -0. Уравнения КдФ высших порядков имеют рациональные
решения (1.158), отвечающие ограниченным /"-потокам гамильтониана (1.154)
,[1.169].
1.7. Дальнейшее развитие метода
65
На фундаментальную важность (1.154) для рациональных решений указывает
также и то, что уравнение Бюргерса - - 2сиих - сихх = 0 (сравните с
(1.42) и замените ц-> - (l/2)vw, t-*c~2vt) имеет рациональные решения
и{х, t)= Z [х - МОГ' r,{t) (1.166)
/= 1
тогда и только тогда, когда [1.169] n(t) = 1 и
xt = -2c ? (x,-xk)~\ 1 <j<N. (1.167)
Из этой системы уравнений следует [1.169], что
i = -8с2 Z (*/- *fc)~3: (1.168)
кФ1
последнее выражение при с =1/2 представляет собой неограниченный (]2 = Н)
поток для (1.154). Поскольку (см. (1.43)) уравнение Бюргерса интегрируемо
преобразованием Хопфа - Коула, это, вероятно, объясняет полную
интегрируемость
(1.154). Тем не менее уравнение Бюргерса не имеет солитонных решений, не
является гамильтоновым и не обладает бесконечным набором сохраняющихся
величин в инволюции. Для него существуют представление в виде пары Лакса
(в котором, однако, L фЬ+ и В ф В+) и бесконечная иерархия уравнений
[1.169] (а также структура продолжения [1.150]); этого, по-ви-димому,
достаточно для его эквивалентности (1.167).
Любой ограниченный поток (1.164) есть поток гамильтониана
(1-169)
i 1Ф1
[4.169], но это не умаляет фундаментального характера (1.165) и (1.154).
Недавно Чен и др. [1.170] действительно нашли соли-Тонные решения
безусловно интегрируемого уравнения Бенджамина- Оно [1.171] с помощью
изучения движения полюсов
(1.154) (в этом случае солитоны являются рациональными решениями).
Представляется вероятным, что подобные связи между рациональными
решениями и многочастичными задачами можно установить для всех
интегрируемых уравнений. Например, частные результаты для таких
уравнений, как модифицированные уравнения КдФ и Кадомцева - Петвиашвили
((1.72) И (1.172)), приводятся в [1.169], для альтернативных уравнений
КдФ [1.115, 1.169] - в [1.169] и [1.170], а для цепочки Тоды в [1.173],
однако в настоящее время нам не известны Другие частные результаты такого
рода. К тому же мы не ВДолне понимаем, каким образом конкретная ^-
частичная задача (1.154) связана с большинством полученных до сих пор
66
1. Солитон и его история
результатов. Мы рекомендуем читателю статью Калоджеро [1.166],
представляющую собой обзор множества связанных с этой темой результатов.
Дальнейший анализ, касающийся уравнений КдФ и Буссинеска, содержится в
