Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
ll2t Т" U2Uix ""Ь ~2 ^2^2х ^ U\xxx 0. (7.165)
3) Р = А + " + х,
R = X. ¦+ до,
1
до = -
I 3 1
Т 2 UUX ^ Uxxx ^XI
vt + vux + х uv х = 0. (7.166)
В более общих некоммутативных уравнениях (7.161) ситуация сложнее - они
накладывают жесткие ограничения на вид зависимости Р, R и R^ от X При
подстановке произвольных полиномов от X в уравнение (7.161) мы получим,
вообще говоря, неопределенную систему уравнений для коэффициентов. Тем не
менее, в некоторых случаях эта переопределенная система имеет решения -
это следует хотя бы из того обстоятельства, что уравнение типа (7.158)
можно получить из системы двух уравнений первого порядка (7.142).
С формальной точки зрения все уравнения, получаемые из
(7.158), (7.159), можно рассматривать как частные случаи уравнений,
получаемых при помощи общей процедуры (7.142),
(7.143), "оскольку уравнение (7.158) можно свести к системе уравнений
первого порядка (7.142) (7.143), в удвоенной по
сравнению с (7.158) размерности, причем матрицы Р и R имеют вид
ГО И " Г*1 R 1
Р~[р oj: + /?,+/?! J ' (7Л67)
7.10. "Одевание" операторных пучков [7.31]
305
а вектор ф = J . Нетривиальным является, однако, что
матрица Р, выбранная в виде (7.167), сохраняет этот вид и во времени.
7.10. "Одевание" операторных пучков [7.31]
Опишем теперь метод построения решений уравнений, описанных в разд. 7.9,
а также метод доопределения уравнений, где это необходимо. Как и в разд.
7.2, для построения уравнений (и их решений) нам потребуются
"затравочные" коммутирующие операторы с постоянными коэффициентами. Для
этого рассмотрим две коммутирующие рациональные функции к\ Р0(А) и R о
(Я.), причем [Р0,Р0]=0. Предполагается, что Р0 и R0 - квадратные матрицы
порядка N.
Рассмотрим произвольный контур G в комплексной плоскости к и припишем ему
матричную функцию S(k). Построим сингулярное интегральное уравнение для
матричной функции ф(А):
ф(Л)=5(Л) + 5т^|^-75-^/5(Л). (7.168)
а
Наложим на контур G и функцию S(k) единственное требование- чтобы (7.168)
было однозначно определено. (Этого всегда можно добиться, например,
выбирая функцию S(A) достаточно малой.)
Кроме того, пусть теперь S(k) зависит от двух параметров л;
и t:
S {к, х, t) = ехр [Р0 М х + R0 (к) t] 5 (А,) ехр [- Р0 (к) х - R0 (к) /].
(7.169)
Следовательно, это приведет к
5, = [Р0(Л, S], (7-170)
St = [R0(k), S\. (7.171)
Покажем теперь, что функция ф удовлетворяет двум уравнениям
Ф*=Р(Л, х, /)ф-фР0(А), (7.172)
$t = R(k, х, Оф-фРо(Я), (7.173)
где Р и R - некоторые матрицы, явно выражаемые через ф, Р0, R0. Обозначим
Х = Ф*-РФ + ФЛ>- (7.174)
Продифференцируем (7.168) по г и 1 и выразим ф* через х-После простых
операций с использованием (7.168), (7.170) получим
X(A) = gS(A)+ J --^-L-^-dk'Sik), (7.175)
306
7. Метод обратной задачи рассеяния
где
g{\,x,t) = [Р0 (X) - Р (А, х, /)] + J Ы +
+ J X'-V + fO 1р°(Л> " Р°(л'>] йк' (7-176)
Выберем матрицу Р так, чтобы g = 0. Из того, что (7.168) имеет
единственное решение, следует, что % = 0, т. е. выполняется
(7.172). Аналогично матрица R{X) может быть подобрана так, чтобы
выполнялось (7.173).
Представив
гр = г|je-Po(W*-JJo(X)<f (7.177)
убеждаемся, что гр удовлетворяет (7.142), (7.143) и, следовательно,
матрицы Р и R удовлетворяют (7.145).
Исследуем подробнее условие g = 0, т. е.
Р (А, х, /) - Р0 (А) = J ф dX' -
- J -Р{Х' *' *' ° ф(А')(7.178)
Пусть Ро(А) разложено на элементарные дроби. Будем искать P(X,x,t) в виде
рациональной функции от тех же самых элементарных дробей, что и Ро(Х).
Равенство (7.178) выполняется в каждом полюсе Ро(А) (включая и случай А =
оо), поэтому можно считать, что
Р0(Л) = -^-+ ... Ч Pjh-y,
' А - А" (А - Х0)к
Р(К)^-Г1Г+ ••• +7TITW (7Л79)
Л - Ло " Ло^
Подставляя (7.179) в (7.178), получим систему уравнений для Pk-
Pk - Pok - Pkl l - 7 ipQk,
Pk-1 ' Po.k-i -Pk-J\ ~ hpQ,k-\ + Pkh - hpob .... (7.180)
Здесь
h(x, t)==\-^-^-dX'. (7.181)
Система уравнений (7.180) может быть разрешена рекуррентно: Pk = ( 1
I\)Pok( 1 - 70 .
Pk-1=(1 7i)po,fe-i(l 7j) -f- {pkh 72Pofe)(l Л) >
, , , , (7.182)
7.10. "Одевание" операторных пучков [7.31]
307
Аналогично могут быть найдены коэффициенты полиномиальной части Р.
Полагая
PQ(X) = lX + lX~' + ...
Р (X) = IqX -{- и{Х -{-... (7.183)
и подставляя (7.183) в (7.178), получим рекуррентные соотношения
"!=*! + [/0, U (7.184)
"2 = /2_Ь70/1 - uxJ§ + [7[, /0], (7.185)
Здесь
/( = 5 А.Ч(М X, l)dX. (7.186)
Подобным образом коэффициенты матрицы R(X,x,t) могут быть выражены через
Ro(X), h и 7,. Этот процесс построения переменных матриц Р и R из
постоянных матриц Р0 и R0 может быть назван процессом "одевания"
"затравочных" или "голых" матриц. Процесс одевания устраняет
неоднозначность в построении интегрируемых уравнений, когда Р и R имеют
совпадающие полюса. Все их коэффициенты при полюсе п-го порядка
выражаются через п величин lk и через коммутирующие величины Роа, Rob- В
частности, если Р и R имеют простой полюс, то при этом полюсе
Pi =(1-/,) PoiO-ЛГ1,
/г,=(1 -/i)/?oi(l -/1Г1. (7.187)
