Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 115

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 156 >> Следующая

2) Ни одно из чисел Xi не совпадает ни с одним из чисел Xi.
Для доказательства этого утверждения заметим, что при выполнении условий
1, 2 в коммутаторе [P,R] не появляется ни новых степеней X, ни новых
простых дробей, не содержащихся в Р или R. Поэтому коммутатор может быть
переразложен по тем же степеням и по тем же простым дробям, что и Р и R.
Тем самым все уравнения определяются однозначно.
Приведем несколько примеров.
1) Пусть
р Р | р Ч1
г - Я-а ' А Я + а '
Из (7.145) следует
Ри - Ч\х = а (Ри + Q\x) = [Pi, Qi\-
Или возьмем
Pi - ФЛ Я\ = Фо 2аф*, = [ф*, фЛ- (7.148)
Полагая ? - х + t, tj = х - t, приведем систему (7.148) к виду
а ("а!7 ~ Irf ) ф = фЛ'
из которого видна ее релятивистская инвариантность.
2) Пусть р - v/X\ R = IX - w.
После подстановки в (7.145) возникает система (7.130).
В матрицах 2X2 система (7.130) совпадает с уравнениями Блоха -
Бломбергена, описывающими распространение световых импульсов в
двухуровневой среде с бесконечными временами релаксации. Полагая в этих
уравнениях
/014 /0 егф 4 (w 04
'-'(.1 о)- О J' Ш = Чо -w)'
302
7. Метод обратной задачи рассеяния
придем к известному уравнению sine-Gordon
(7.149)
3) Р =* IX и "Ь ! R - IX -|- да.
Этот пример не удовлетворяет условию 1, поскольку m - п = 1. Подставляя в
(7.145), получаем
Неоднозначности в этих уравнениях можно избежать, предполагая, что
матрицы и, да возникли (если v - 0) из канонических операторов, т. е. что
Тогда при у = 0 система (7.153) совпадает с (7.32) при д/дг = 0.
Аналогичные трудности неоднозначности возникают и при наличии у
знаменателей R(x,t,X) и P(x,t,X) совпадающих нулей.
Правила доопределения в этом случае, в частности обосновывающие выбор
(7.153), будут сформулированы в разд. 7.10.
Обратимся теперь к уравнениям (7.121), допускающим "?, Д, 5-тройки". Их
можно представить как условия совместности двух уравнений
причем операторы ?0, 51 содержат производные только по г, а оператор Д -
по х и г. Пусть коэффициенты этих операторов не зависят от г, а
коэффициенты оператора ?0 - также и от х и t (что согласуется с правилом
одевания троек). Совершая преобразование Фурье по г, придем от уравнения
(7.154) к уравнению
где Рх{Х, х, t) и Р2 - det||e~KzL0eu || многочлены по X.
При помощи формулы (7.156) легко вычислить высшие производные ф по х.
Очевидно, что
[/, да] = [/, и]
ди dw W ~~дх
[J, V] + [и, да],
(7.150)
(7.151)
(7.152)
и = [/, Q], w - [J, Q].
(7.153)
50Ф* + 51ф = 0,
¦ф< ~ь At= о>
(7.154)
(7.155)
(7.156)
I Ш __ Рп (х, t, Я) Т ГР"ПЛ1"
[.Р, (А)]п
(7.157)
7.9. Сохранение спектра операторных пучков
303
Выражая производные по л в уравнении (7.155), используя
(7.157), мы приходим к уравнению (7.143), в котором, однако, рациональная
функция R имеет весьма специальный вид - в частности, ее знаменатель есть
степень знаменателя функции Р. В частном случае уравнений (7.128), когда
оператор А не содержит производных по х, Р - произвольная рациональная
функция, a R - многочлен.
Естественно предположить, что и общее уравнение (7.145) для произвольных
рациональных операторных пучков является результатом отбрасывания
производных по г у некоторого более сложного уравнения, но его вычисление
уже выходит за рамки настоящей работы.
Можно поставить еще вопрос о сохранении по t спектра операторного пучка,
содержащего более высокие производные. Пусть, например, совместны при
всех X следующие системы:
Ухх = Р (х, t, X) ф, (7.158)
фг = Я(х, t, X^ + R^x, t, Л)ф. (7.159)
Дифференцируя (7.158) по t, а (7.159) дважды по х, вычитая результаты и
выражая ф/, ф**, ф XXX из (7.158) и (7.159), получим, приравнивая нулю
коэффициенты при ф, ф*,
[р, R] = Rxx + 2Rlx, (7.160)
Pt + [P, Rl]-2RxP-RDx-Rlxx = Q. (7.161)
Если Р, R, R1 коммутируют (являются числами или принадлежат коммутативной
матричной алгебре), уравнения (7.160), (7.161) упрощаются до одного
уравнения
Pt-2RxP-RPx + ±Rxxx = 0. (7.162)
Подставляя в (7.152) Р и R в виде (7.146) (7.147), легко получить
уравнения на коэффициенты щ, рц, vt, Qn, обеспечивающие совместность
(7.158), (7.159). При этом, однако, можно не накладывать никаких
ограничений на степени т, п или на числа Xi, Xi - в любом случае
возникает определенная система уравнений. Приведем несколько примеров.
1) р = А + к,
Я = Г1 + ц1А/"-1 + ... +Vm. (7.163)
При подстановке (7.163) в (7.162) мы, очевидно, получим уравнения,
определяющие L - Л-пару, если оператор L есть (d2/dx2)-и, а оператор А
скалярный порядка 2m + 1. В частности при /и=1, выбирая R - АХ + v, из
(7.162) получаем V - -2и, ut-\-6uux - и.ххх = 0, что в скалярном случае
совпадает с уравнением КдФ,
304
7. Метод обратной задачи рассеяния
Если R ¦ - рациональная функция, то возникают уравнения,
уже не обладающие L - Л-парой. Так, например, полагая
R = v/X, получим систему
ы, = 2vx,
vxxx = 4 uvx + 2vux.
2) Р = X2 -j- UjX Т" и2,
R = X + u. (7.164)
Имеем систему, описывающую длинные волны на мелкой воде [7.30]:
I 3 п
ult + 4\U\X - и2х - 0,
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed