Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
связана с преобразованием (7.122) и не меняет вида искомых уравнений.
Рассмотрим случай, когда Л и В являются дифференциальными по 2
операторами. Тогда из (7.121) имеем
4Р-[?<0), A] = BL(0)
- [?(1>, A] = LmAx + §L{1). (7.128)
Выберем в качестве простейшего примера
L° = -k+u' ?(1) = "; A=l~ + w,
В = [1, "]; / - постоянная матрица
298
7. Метод обратной задачи рассеяния
Имеем
W = (w ~ 1и^ + + V'
ж=~ fr7 + ^ ~ 1"°>
= [Ло]. (7.129)
Система (7.129) интересна в двух предельных случаях, когда отсутствует
зависимость от одной нз координат. Если д/dz = О, и = 0, получаем
% = [v,w]\ 4г = Г 7'°1- (?ЛЗ°)
Если д/сБс - 0, w = v = О,
Ж = ~1Ж + ^1' и^и- (7Л31>
Покажем теперь, как применить к уравнениям (7.121) метод
одевания. Для этого зафиксируем предельное значение опера-
торов L(0) и L(1):
L(0) -"-Л40; L(1) ->-М], 2 ->• ± оо,
так что
L0=M0^- +МЬ (7.132)
и рассмотрим пространство Ч^о решений уравнения
Lo-Фо = 0. (7.133)
Будем предполагать, что операторы Р и R действуют как интегральные
операторы на 4V Все дифференциальные операторы рассматриваются теперь по
модулю оператора L0, то есть с точностью до добавления произвольного
оператора вида CL0.
Пусть интегральный оператор Р с гладким ядром переводит
функции из Ч^ снова в Ч^ (F : Ч^о = Ч^). Тогда очевидно
(L0F- Р%) | ф0) = LqF | фо) = О (ф, е П (7.134)
Пусть 1 + К+ - правый вольтерровский фактор оператора Р. Рассмотрим
одетый по формуле (7.40) оператор С. Из формулы (7.46) следует, что
[1(1+/?+)-(1+Г)Т0]|ф0) = L (l + R+) I Фо). (7.135)
Таким образом, функции вида 4J1 = (1 -f К+) | фо) представляют собой
решения уравнения (7.120), что и требовалось.
7.8. Триада L, Л, В
299
Выпишем теперь явный вид условия (7.134). Оно эквивалентно условию
Uf=>gLI
где G - некоторый интегральный оператор, или двум условиям на ядра
мо (ж) F <г- 2') " G М° (if)•
+ г')-0(г, z')M!(^). (7.136)
Пара уравнений (7.136) заменяет уравнение (7.44).
Аналогичным образом уравнение (7.49) заменяется на уравнение
dF I л п с л + .
- + A0F - FA о = RLa,
R = <7Л37>
k-0
которое также легко может быть расписано в виде системы уравнений для
ядер F и G*.
Приведем теперь явные формулы одевания оператора С. Пусть
= /о -Q~m ; 3^1 = О,
тогда
дт дт~х
L° = l°J^ + Uxlb^т + -*-' (7Л38)
дт~'
"1 = 10к {г, z, X, t) - Q(z, z, x, t)l0,
Vi z, x, t). (7.139)
Здесь ядро Q есть решение уравнения
L0K = QAfJ.
Аналогичные формулы легко (хотя и путем громоздких вычислений) можно
получить для оператора А. Эти формулы позволяют в принципе исследовать
уравнения типа (7.121) с той же полнотой, что и уравнения, допускающие L
- A-пару.
Заметим, что в одевание оператора /Й0 входят только производные по z от
величин |,(2, х, t\, но не сами эти величины,
300
7. Метод обратной задачи рассеяния
7.9. Сохранение спектра операторных пучков
Пусть нам заданы два совместных дифференциальных уравнения
•|?+1ф = 0, ^ + = 0 (7.140)
и их условие совместности
тг- Л (7.141)
Здесь L и А - как обычно, дифференциальные по z канонические операторы.
Пусть коэффициенты этих операторов не зависят от г и являются только
функциями х и t. Тогда к уравнениям (7.140) можно применить
преобразование Фурье по к. Факт совместности уравнений перейдет в факт
существования совместного спектра полиномиальных по к операторных пучков.
Фх + Р(*, t, А.)Ч> = 0, (7.142)
Ч>/+ /?(*. /, Я)Ф = 0, (7.143)
Р = /0Г + м,ЛГ!~1+...; R=a0kn + vlkm~l + .... (7.144)
Точнее говоря, при каждом к полугруппа, порожденная уравнением (7.143),
должна инвариантно действовать на пространстве, порожденном решением
уравнения (7.142).
Задача об определении уравнений, которым должны подчиняться матрицы Р и R
для того, чтобы любое решение системы
(7.142) было одновременно решением системы (7.143) и наоборот, может быть
поставлена и непосредственно вне связи с происхождением уравнений (7.142)
и (7.143) из дифференциальной по z С - Л-пары. Дифференцируя (7.142) по
i, (7.143) по х, вычитая результаты и заменяя производные по х и t по
формулам
(7.142), (7.143), получим
(Pt-R,-[P,R])* = 0.
Откуда получаем уравнение
Pt-Px = [P,R], (7.145)
формально совпадающее с (7.141).
Естественно рассматривать задачу в более общей постановке, считая, что Р
и R являются рациональными функциями к. Разлагая их на простые дроби,
положим
Р = 10кп + Uikn + . .. + ип + J] pt,
7.9. Сохранение спектра операторных пучков
301
R = aQXm + v{Km + ... + vm + X Qt,
ri
Cx-'k-)1"' (7,147)
Здесь Xi, Xi - комплексные константы.
Условия на матрицы ui, vi, рц, Qii должны быть получены непосредственно
подстановкой (7.146) и (7.147) в (7.145).
Очевидно, что прежде всего для существования таких уравнений необходима
коммутативность матриц 10 и ао¦ При выполнении этого условия уравнения
всегда существуют, но могут определяться неоднозначно. Легко проверить,
что для однозначного определения уравнений на щ, щ, р(/> Qy из (7.145)
необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий.
1) По крайней мере одно из чисел пг, п равно нулю.
