Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
с матрицей С, взятой в виде (7.114), то мы получим общее решение системы
(7.34). Здесь и0, Ui-"-0, U2-+- и при 2-> ± ОО.
Система (7.74) физически наиболее интересна, если ц, зависит от трех
пространственных координат. Однако, переходя к системе координат, в
которой групповая скорость одной из волн (например, ио) равна нулю,
система может быть сведена к существенно двумерной, для которой
достаточно совместить координатную плоскость с плоскостью векторов v2 и
и3. В этом случае исчезает производная вдоль направления,
перпендикулярного этой плоскости. Пусть это будет направление у.
Предположим, что Ь\ - Ьъ = 0, тогда
Числа аь а2 и а3 нормированы так, что е= 1. Редукция функции F
соответствует выбору редукции (7.67). Формула (7.47) дает
F'(z, z') = F(z', г)
(7.115)
<?о = ~ i Vai - аз и0 = К13 (г, г, дс, 0.
qi= /V^i - а2 "1 = Ki2{z, z, х, I),
<72= г Va2 - аз Щ - К2з(г, z, x, t) -f w. (7.116)
7.7. Тонные решения уравнений нелинейной оптики [7.26]
295
Рассмотрим простейший случай и = 0. Тогда F|2 - F (z - а{х) Ф (z' - а2х -
¦ bt);
F}з = F (z - axx) ? (z - агх):
OO 00
J \F(s)\2ds = Ji-, J | Ф (s) I2 rfs == /2; (7.117)
- 00 -oo 00
5 \ W(s)fds = J3.
- 00
Легко проверить, что (7.117) с произвольными комплексными F, Ф и Ф'
является решением системы (7.110), (7.111).
Из (7.60) найдем, что
ГУ F<b
<7°= д ; Я\- д ;
z-a^x
Ф*Ф
J \F(s)\2ds-, (7.118)
где
г-а\Х
л. -и\Л - W оо -
Д=1+ J |A(s)|2ds J |Ф($) \2ds + J \W{s)\2ds .
-оо L z-a7x-bt z-a>x J
Асимптотически при t->-oo решение (7.118) распадается на пакет накачки и0
и волновой пакет и~ с интегральными интенсивностями
lo = ^ I "о (*, z)\2 dxdz = q\n{ \ + J{J0),
/Г - ^ I (х' z)f dx dz =q\n(^ \ + , ¦
При 7->-+oo имеются все три пакета с интенсивностями
1й = q \п \ < it + lt-Ir,
1+ __ г, /г | Г ! \. " __ (а1 а*) (й2 Яз)
/, - </1п(1 Н-/,У2). <? =-62(а1_аз)-•
Если /], /3 1 и А " /2, /3, то мы имеем задачу взаимо-
действия интенсивного пакета накачки с маленьким волновым пакетом и2.
Значения интенсивностей указывают, что происходит почти полный распад
накачки. Асимптотический вид пакетов и\ и и2 зависит от функции ср,
которая не входит в асимптотическое выражение накачки и~. Этот факт
отражает распад неустойчивости волны накачки.
296
7. Метод обратной задачи рассеяния
В целом, разобранный метод также может быть применен к проблеме взрывной
неустойчивости (7.75). Соответствующее решение имеет вид (V0 = 0, е = 1):
z-a\X
<7о=-'Х'; <71 = -^-; <72 = -^ 5 I F (s) I2 rfs
- оо
Z - CL\X р-ОО ОО _
А = 1 - ^ | F (s) р ds\ ^ I ф (s) I2 ds + ^ | -ф (s) |2 ds .
- оо L z-a2x - bt z-clzX J
(7.119)
Эволюция решения (7.119) может привести к тому, что в некоторой точке в
конечный момент времени знаменатель обратится в нуль. Это доказывает, что
развитие взрывной неустойчивости для трехмерного волнового пакета ведет к
точке "коллапса".
7.8. Триада L, А, Ё
Возможность восстановления коэффициентов двумерного оператора из матрицы
рассеяния, заданной в одной точке спектра, привела Манакова [7.27] к
открытию нового класса интегрируемых систем, которые не допускают
введения L,-Л- пар.
Пусть заданы дифференциальный оператор L по двум переменным г и х и
соответствующее уравнение
?ф-=0. (7.120)
Решаемые уравнения (7.120) составляют линейное пространство ф. Потребуем,
чтобы полугруппа сдвигов по t, которые определяются дифференциальным
уравнением (7.11) фг + Лф = 0, действовала на ф инвариантно. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
- [L, М - BL, (7.121)
где В - некоторый дифференциальный оператор. Очевидно, что оператор А
определен здесь не однозначно, а только с точностью до преобразования
Л -> Л + CL; С], (7.122)
где С - произвольный дифференциальный оператор.
Соотношение (7.121) задает некоторую систему уравнений, решаемую методом
обратной задачи по схеме (7.20) - (7.64).
7.8. Триада С, А, В
297
Опишем (без доказательства) класс операторов L, приводящий к уравнениям
типа (7.121). Выберем ? в виде:
L = L(0)^ +L(1), (7.123)
где L<0> и Lw - матричные N X N, дифференциальные по г операторы
г(0> ,(0) дт' . дт'~1 ,
1 ~1° (7Л24)
r (D дт , дт~1 . 1оеч
- °° ~д^ + 01 ~~д7п' ~ + • • • • (7.125)
Матрица /{,0) является постоянной; матрица о0 является постоянной, если
m2 S? В случае m2 - гп\ - 1, о0 - переменная матрица. При г-*-оо оператор
L принимает предельное постоянное значение L0. В качестве операторов А и
В могут быть выбраны произвольного вида дифференциальные по х и z
операторы, характеризуемые своими предельными значениями А -* ->А0, В->Вц
при г-*оо, причем
-[L0, A0] = B0L0, (7.126)
Операторы А и В удобно представлять в виде
А .. + А<п)
В = В<0,^г+.. .. + в(п).
(7.127)
где Aft\ B{t) - операторы, дифференциальные по г. Подстановка в условие
(7.121) дает систему уравнений на коэффициенты операторов А, В (и
уравнение для коэффициентов оператора С). Операторы А и В, вообще говоря,
определяются из этих уравнений неоднозначно, однако вся неоднозначность
