Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 112

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 156 >> Следующая

Приступим теперь к физическим задачам, которые могут быть решены с
помощью методов, представленных в разд. 7.4. Ограничимся только очень
простыми примерами, содержащими точные "односолитонные" решения (7.60).
Рассмотрим (7.90). Уравнения (7.43), (7.49) имеют вид
dF d*F , d3F 9 ( dF , dF
7.6. Двумерная неустойчивость солитонов [7.25] 291
Эти уравнения имеют простое известное решение
F==F0 = 2ve-v<2+z'>. (7.94)
Из (7.53) получим
9 -v (г+г')
К=Ко= (7-95)
В этом случае формула одевания (7.47) дает
_d_ dz
u = 2-?-K{z, г, х, t). (7.96)
Из (7.95), (7.96) имеем
ch2 v*
Решение (7.97) есть солитон - изолированная неискажаемая волна в своей
собственной системе отсчета, в которой записано уравнение (7.90). С
физической точки зрения очень интересным является вопрос о неустойчивости
солитона (7.97) относительно поперечных возмущений. Он был частично решен
Кадомцевым и Петвиашвили [7.22], которые показали, что если взять
u-u0-\-bw, bucz. em+iM,
то для малых значений р
Q2=pVp2 + .... (7.98)
Таким образом, солитон устойчив, если |32 > 0 и неустойчив, если р2 < 0.
В случае устойчивости (7.90) описывает слабо нелинейные волны в среде с
дисперсионным соотношением
<4 = cY(l - AY+ ...), (7.99)
тогда как в неустойчивом случае дисперсионное отношение имеет вид
<а\ = cY (1 X k (7.100)
Здесь X- дисперсионная длина волны. Если 1ц-поперечный размер солитона, a
Ix ~ 1 /р - характерный размер возмущения, то соблюдается следующее
неравенство:
? (7.101)
Метод обратной задачи рассеяния позволяет получить полное Решение задачи
о неустойчивости солитона потому, что он позволяет определить функцию
Й2(р). Для этого рассмотрим (7.90) в алгебре треугольных матриц
отмеченного уже типа (7.81). Матрица F а К также принадлежит этой
алгебре, Уравнение
292
7. Метод обратной задачи рассеяния
для "1 получается линеаризацией уравнения (7.90), а (7.53) приобретает
вид
00
Fliz, z', I, у) + Ki (г, г',1, у) -f ^ Kl(z,z",l,y)F0{z",z',t,y)dz" +
г
00
+ ^ /Со(z, z", (, y)Fi(z", z', t, у)dz" - 0. (7.102)
Z
Уравнение (7.102) легко решается. Полагая, что Л = Ф (У> t)e-^z~kz',
найдем, что
Kdz, z, у, t) = cp(y, t)e~^z(-\ + (v + ft)(^+e2vZ))X
X(l+7^F) (7.103)
Из нулевых граничных условий для Ui(z,y,t) при z-±оо и
"1(2, У, t) = 2-^-K\{z, z, у, ()
найдем, что k = v и Re(v - л) > 0. Теперь из (7.92) и (7.93) получим
ф(//> () = <f0eiQ,+ipy; Q2 = PV(v2 - фр). (7.104)
Значение (5 выбирается так, чтобы удовлетворить условию Im Q ^ 0 при j р
| -оо. Там, где р2 > 0, формула (7.104) описывает спектр затухающих
колебаний солитона, а там, где р2 •< О, она описывает возрастание
неустойчивости солитона. При р2->0 результат Кадомцева и Петвиашвили
(7.98) следует из (7.104).
Теперь вернемся к скалярной алгебре и исследуем решение типа (7.55),
полагая, что
F = 0p(z, у, t)Hp*(z', у, t). (7.105)
В скалярном случае выбор С\ и сг не влияет на конечный вид решения, и
можно выбрать с\ - с2 = О,
ф(г, у, ()= ^ a(n)exp [ri(v2 - г]2) / + i (rf - v2) у ~ г\х] йц, (7.106)
где а (л)-произвольная функция. Решение для (7.90) теперь дается формулой
u(z, у, () = -2-^-------1*{z'' 0 |2-----. (7.107)
1 + J Ц>(2'. у, О I2 dz'

В частности если
V
ф(г, у, 0= ^ а(п)ехр[л(v2 - Л2) / + /(л2 - v2)y - r\x]dv\, (7.108)
7.7. Точные решения уравнений нелинейной оптики [7.26]
293
мы получаем решение, стремящееся к солитону (7.97) при t-*-оо. Это
решение описывает развитие неустойчивости солитона, изменяющейся при
различных выборах а(г|). Если а(г)) = = аб(г),-г)о), где г)0 <С v, то в
результате развития неустойчивости рождается солитон с низшей амплитудой
г|0- В случае произвольного выбора а(т)) первоначальный солитон полностью
исчезает. Энергия, содержащаяся в нем, переходит в осциллирующий фон,
равномерно убывающий относительно х и t. Похожие решения, описывающие
затухающие нелинейные колебания солитона, также могут быть получены в
устойчивом случае Р2>0.
7.7. Точные решения уравнений нелинейной оптики [7.26]
Исследуем теперь точное решение системы (7.74), одной из основных систем
уравнений нелинейной оптики. Сначала заметим без доказательства, что
главное интегральное уравнение
(7.53) может быть заменено на
где С является произвольной матрицей, коммутирующей со всеми h. Далее
отметим, что система (7.74) имеет тривиальные точные решения, когда
только одно из значений щ отличается от нуля, например, uq=U\ = 0; U2 =
u(x- V2xt,z - V2zt). На основании этого точного решения системы (7.74)
введем процедуру одевания. Здесь матричная функция F удовлетворяет двум
уравнениям,
со
F(z, z') + K(z,z')+ J K{z, z")CF(z", z')dz"~
z
z
- J K(z, z")(\-C)F(z", z')dz" = 0, (7.109)
^ + + P(~z> ()1F-FV> p(2'> x> 01=0,'
(7.110)
и "(?, г))-произвольная матричная функция.
294
7. Метод обратной задачи рассеяния
Учтем следующее ограничение на вид матрицы F:
(7.113)
и выберем матрицу С в виде
С
(7.114)
Если выбирать всевозможные функции и и всевозможные решения системы
(7.110), (7.111) вида (7.113), для которых интегралы в (7.109) сочетаются
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed