Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
она совпадает с уравнениями Эйлера свободного вращения твердого тела. Это
совпадение не случайно. Как показал Манаков [7.18], среди уравнений
(7.21) содержатся и
288
7. Метод обратной задачи рассеяния
уравнения свободного движения Л/-мерного твердого тела. Действительно,
эти уравнения имеют вид
М = [М, Q], (7.79)
где М и ?2 - вещественные антисимметричные матрицы, причем М - IqQ + QIq,
а /о - положительно определенная симметричная матрица (тензор инерции).
Приведем матрицу /с к главным осям и положим /о = diag Д. Полагая / = /2,
/ = /0, Af = [/, Q], й = [/, Q] и отбрасывая производные по г,
убеждаемся, что система уравнений (7.21) совпадаете (7.79).
Среди комплексных многомерных систем (7 70) разумная физическая
интерпретация найдена пока только для одной системы при N = 4 и
дополнительном условии а\ - а2 = аз - сц\ Ь\ - 62 = Ь3 - Ь4. Эта система
возникает за счет добавочной редукции "1з = -"24. "12 = "34 и приводит к
задаче о взаимодействии четырех волн
~~dt b (V12 ' ^Ы12) = Ц ("14" 13 "Ь М13М2з)>
^ (V*3 ' У"*з) = Ц ("14"12 М13М12)>
~~gi Ь (V23 ' ^Ы2з) = i(?"i3"12>
^il + (vI4- V"14)=I<7Mi2"23,
(v 12 - VM) • (v,3 - V23) + (V13 - V,4) • (v,2 - V23) = 0, q = е)2з =
6124 = e234 = e[34. (7.80)
Система (7.80) описывает распад накачки "i3 на вторичные волны "12 и "2з
в присутствии холостой (антистоксовой) волны "и, которая в свою очередь
может распадаться на накачку "i3 и вторичную стоксову волну "12-
Уравнение (7.80) встречается в задачах физики нелинейных волн [7.21].
Полное описание редукций систем (7.21) и (7.32) пока еще не проделано.
Уравнение (7.22) в скалярной алгебре есть знаменитое уравнение Кортевега
- де Фриза (КдФ), с которого и начался метод обратной задачи рассеяния.
Его физическая интерпретация не нуждается в пояснениях. Заметим только,
что в коммутативной треугольной матричной алгебре
уравнение (7.22) распадается на два
"0< 6"о"Ог "К "0 *к>
ии - 6"1"о, + 6"о"1, + и, (7.82)
7.5. Проблема редукции и физическая интерпретация примеров ^89
из которых первое есть обычное уравнение КдФ, а второе - уравнение КдФ,
линеаризованное на фоне данного решения uq. Этот факт является общим -
использование треугольных матриц типа (7.81) позволяет изучать
линеаризованные интегрируемые системы.
Система (7.23) при разных выборах р и s приводится в скалярной алгебре к
одному из четырех канонических видов
Uft i ихх i Uxxxx + (w2)x* - 0. (7.83)
Физический смысл всех вариантов этой системы достаточно прозрачен.
Система (7.24) содержательна, если а = i и имеет место редукция q - ±л+.
Тогда она приводится к одному уравнению
2rt = i (rzz ± лл+г). (7.84)
В скалярной алгебре л+ = г*, и это - нелинейное уравнение Шрёдингера,
часто возникающее в физике нелинейных волн в связи с задачами типа
самофокусировки [7.17]. В алгебре матриц вида
оно приводится [7.18] к системе нелинейных уравнений Шрёдингера
П
- 2 irnt = rn" ± ? | г if гп. (7.85)
t = l
Уравнение (7.85) имеет любопытный континуальный предел:
- 2 irt (t, z,t) = -^r(t, z,l)±\\r (t, z, Г) I2 dl'r (t, г, g), (7.86)
где g- векторный параметр; интегрирование ведется по некоторой области в
пространстве этого параметра.
Система уравнений типа (7.85) при п = 2 описывает само-воздействие
электромагнитных волн с различной поляризацией и встречается в нелинейной
оптике. Наиболее интересно было бы рассмотреть уравнение (7.24) в
гейзенберговской алгебре операторов, задаваемых коммутативными или
антикоммутатив-ными уравнениями
№(2), Ф (2')] = 6(2-2'), (7.87)
ИФ), ф(2')} = б(2 -г'). (7.88)
В этих случаях уравнение (7.84) описывало бы одномерный Бозе
и Ферми газ с точечным взаимодействием. Несмотря на то,
что
соответствующие теории далеко продвинуты (известны спектр
290
7. Метод обратной задачи рассеяния
оператора Гамильтона и статистическая сумма), использование метода
обратной задачи могло бы здесь оказаться полезным.
Уравнения (7.25) рассматривались только в скалярной алгебре q = ±г*. В
этом случае возникает так называемое модифицированное уравнение КдФ (или
МКдФ)
О + ту гггг ± т | г |2 гг = 0. (7.89)
Оба эти уравнения являются универсальными и применяются для описания волн
в средах со слабой дисперсией - в тех случаях, когда преобладает кубичная
нелинейность.
Система (7.33) эквивалентна уравнению
d4i дг ( п , 1 I 3 о'Ч I 3 оь д2и
dt dz
-JL(-v 2м + 1Мг2 + |^+(7>90)
впервые, по-видимому, рассматривавшемуся Б. Б. Кадомцевым и В. И.
Петвиашвили [7.22]. Это уравнение обобщает КдФ на случай слабой
зависимости от конечной координаты у.
Из многочисленных вариантов системы (7.34) мы рассмотрим только один,
когда а = 0. В этом случае система (7.34) приводится к виду (р = г, q =
±г*, а=1, алгебра скалярна)
д*г .
1Г*=-д?+иг'
Здесь
д д ,,<? д д,,, ,п<3
и - Гх Г2, дх + I дг ' ар дх + ^ ^ дг '
Система (7.91) встречается в физике плазмы; при р - t она описывает
взаимодействие околозвуковых ленгмюровских солитонов [7.23], [7.24].
7.6. Двумерная неустойчивость солитонов [7.25]
