Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
достаточно общий физический смысл, общим уравнениям, получаемым при
помощи ? - Д-пар, обычно нелегко найти разумную физическую интерпретацию.
Опыт показывает, что~ чаще всего физический смысл эти уравнения
приобретают при априорных дополнительных ограничениях на вид решений,
которые мы будем называть редукциями.
7.5. Проблема редукции и физическая интерпретация примеров 285
Простейшая форма редукции состоит в фиксации алгебры, к которой
принадлежат коэффициенты операторов ? и Л. Поскольку при вычислении
интегрируемых уравнений производились лишь линейные операции и умножение
(не обязательно коммутативное), то эти коэффициенты могут принадлежать к
любой ассоциативной алгебре, в том числе и не обязательно матричной
(например, алгебре операторов в гильбертовом пространстве). Дальнейшие
редукции удобно разобрать на примере уравнений (7.21) - (7.32).
Эти уравнения являются нетривиальными, начиная с размерности /V = 3.
Однако даже в этом простейшем случае при общем виде матриц /, / и Q они
не допускают (на сегодняшний день) физической интерпретации.
Пусть /, /, Q принадлежат к алгебре, на которой определена аддитивная
инволюция А -*¦ А, причем А = А,
Ai ± А2 = А\ ± Л2.
Пусть матрицы I и / инвариантны относительно этой
инволюции (7 = 1, 7 = /). Тогда уравнения (7.21) - (7.32)
допускают
редукцию
Q=Q. (7.67)
Это означает, что взяв начальные условия, удовлетворяющие соотношению
(7.67), мы получим при всех t (или х) решение, также удовлетворяющее
этому условию.
Пусть зафиксирована алгебра комплексных N~XN матриц, причем / и / -
диагональные матрицы. Определим инволюцию формулой _
Q = С- '^С, (7.68)
где С - диагональная унитарная матрица (СС+ = 1). (Значок Q+ означает
эрмитовское сопряжение.) В общем случае Ckj = = ехр(7фд)бд/, и (7.68)
означает, что
Q*/ ^ехР[' (Ф/ - Ф*)]Q/*- (7.69)
Из условия Q = Q мы получаем ф* - 0, я. В частном случае можно положить С
= 1, Qkj = Q*k, т. е. выбрать Q эрмитовой матрицей.
Пусть матрица / = diaga* (aI+i>a(), / = diag bp Введем набор величин
1 ^ и
tiff; - __--- , I <! k.
yak -at
Тогда уравнение (7.32) эквивалентно гамильтоновой .системе
duik . 6
286
7. Метод обратной задачи рассеяния
где
Н7 Е [""(V'* ' VW^) ~ ""(vi* ' VW")] +
i<k
+ Z e<7fc {UikUkjUlj + ulkUkjUii), (7.71)
*<*</
где V - градиент в плоскости xz, v,-* - двумерные векторы, b, - bh o.bh
- ahb.
аА~аЛ- +^/-аЛ + а/6;-а*6/ /,7оч
eift/---------1. ¦ -¦ ¦==------•
V(flrfli)(af-fli)(fl/"''i)
Очевидно, что система (7.70) нетривиальна лишь с N = 3. В этом случае она
имеет вид
dUo ' (v0 • Vu0) = ieu1u2,
dt
- + (v, • VUi) = /euoM2,
+ (v2 • Vw2) = ieuoul, (7.74)
где
Uo = wi3i "1 ="i2; ы2 = "2з!
Vo = vi3! vi==vi2> v2 = v23; e = e123.
Система (7.74) представляет собой фундаментальную систему уравнений
нелинейной оптики, описывающую распад, волны накачки "о на "вторичные
волны" и\ и "2 и обратный процесс слияния вторичных волн в волну накачки
(см., например, [7.15], [7.17]); Vo, Vi и v2 - групповые скорости волн.
При выводе уравнений (7.74) из конкретных физических уравнений (например,
из нелинейных уравнений Максвелла) может оказаться, что эти векторы не
лежат в одной плоскости, однако переходом в движущуюся систему отсчета
этого всегда можно добиться, так что уравнения (7.74) описывают общую
трехмерную ситуацию.
Выберем матрицу С в виде С = diag(-1,1,1). При этом мы снова придем к
системе (7.74), однако теперь
w0==w12> ы1=ы13> "2 =
v0 = v12; V[ = v 13; v2 = v23.
Накачкой теперь является волна "12, а "13 и "2з-вторичными волнами.
Аналогично при выборе С = diag (1,1,-1) накачкой становится волна w23.
7.5. Проблема редукции и физическая интерпретация примеров 28?
Если же выбрать С = diag(l,-1, 1), то мы придем к новой системе
"1Г + (v0 • V"0) - im\uv
-^- + (v, • V",)==ie"X,
h (v2 ¦ Vu2) - ieUqU*. (7.75)
Система (7.75) описывает нелинейную стадию "взрывной неустойчивости" в
среде, в которой могут распространяться волны с отрицательной энергией.
Теперь
м0 = ы,3; в,=и*2; ы2 = ы*3. (7.76)
Поставим вопрос о возможности дальнейшей редукции описанных систем. Это
можно сделать, налагая дальнейшие ограничения на выбор матриц / и /. Так,
положим в системе (7.74) а2 - 0, (bi -Ь2)/а,1=(Ьз -Ь2)/аз. Тогда Vi = v2
и можно положить "j = "2. Система (7.75) приобретает вид
+ (v0, V"0) = ieuf,
Щf- + (v" V",) = ieu0u\. (7.77)
Система (7.77) также известна в нелинейной оптике в связи с задачей о
генерации в нелинейной среде второй гармоники (см. [7.17]). Дальнейшая
редукция может быть осуществлена переходом из алгебры комплексных в
алгебру вещественных матриц. Ее можно осуществить, полагая в уравнениях
все иц чисто мнимыми:
Uij - iWij,
+ (v0 • Уш0) - - еш[Ш2,
dwi . , " \
-J. _|_ (V| • уwi) = ew0w2,
+ {у2 ¦ Vw2) = ew0w{. (7.78)
Аналогичная система возникает и из системы (7.75). Эти вещественные
системы соответствуют в нелинейной оптике случаю "точного резонанса".
Система (7.78) замечательна тем, что в однородном случае, когда Va>( = 0,
